Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 77 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Шарыгина
СообщениеДобавлено: 05 июн 2017, 01:52 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2573
Cпасибо сказано: 165
Спасибо получено:
827 раз в 703 сообщениях
Очков репутации: 249

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Зачем тогда вам нужен калькулятор и программа? :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Шарыгина
СообщениеДобавлено: 07 июн 2017, 23:05 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 471
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
256 раз в 208 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Попробую дать некоторые пояснения по программе.

В коде находятся объемы тел – конусов или гиперболоидов, получаемых при вращении отрезков вокруг оси вращения (в данном случае вокруг диагонали параллелепипеда AC').

Пусть нам известны координаты концов вращаемого отрезка [math]P1P2[/math] в Декартовой системе координат, начало которой помещено в любую точку на оси вращения (пусть это будет вершина A).
В коде принято, что оси X,Y,Z системы координат направлены вдоль ребер параллелепипеда AB, AD, AA’.
То есть нам известны векторы [math]\overrightarrow{P1},\;\;\overrightarrow{P2}[/math].
Известен направляющий вектор оси вращения [math]\overrightarrow E[/math]. Будем пока считать, что это вектор единичной длины.

Объем тела, полученный при вращении такого отрезка, будет равен: [math]V = \frac{\pi}{3}\cdot (\overrightarrow{R1}\cdot \overrightarrow{R1}+ \overrightarrow{R2}\cdot \overrightarrow{R2}+ \overrightarrow{R1}\cdot \overrightarrow{R2}) \cdot \left| H \right|[/math] (1),
где:
- [math]\overrightarrow{R1}= \overrightarrow{P1}\times \overrightarrow E ,\quad \overrightarrow{R2}= \overrightarrow{P2}\times \overrightarrow E[/math] - векторные произведения, радиус-векторы из вершин отрезка к основанию перпендикуляров, опущенных на ось вращения. Длина векторов равна расстоянию от концов отрезка до оси вращения;
- [math]H = \left({\overrightarrow{P1}- \overrightarrow{P2}}\right) \cdot \overrightarrow E[/math] - скалярное произведение, высота тела вращения, длина проекции отрезка [math]P1P2[/math] на ось вращения. В формуле (1) взят еще её модуль, так как это произведение может получиться отрицательным.

Заметим, что в формуле (1) не требуется находить положение и размер «талии» гиперболоида,
в чем ее преимущество по сравнению с формулой Симпсона.

Формулу (1) можно записать без использования векторов, например: [math]V = \frac{\pi}{3}\cdot \left({R{1^2}+ R{2^2}+ R1 \cdot R2 \cdot \cos \widehat A}\right) \cdot H[/math] (2),
где:
- [math]H[/math] – высота тела, [math]R1[/math], [math]R2[/math] – расстояние от концов отрезка [math]P1[/math], [math]P2[/math] до оси вращения.
- [math]\widehat A = \widehat {P1'AP2'}[/math] - угол под которым из точки A видна проекция отрезка [math]P1P2[/math] на плоскость, перпендикулярную оси вращения (XZ – на рисунке). A – точка пересечения оси вращения с этой плоскостью (начало координат).
Изображение
Когда [math]\widehat A = 0,\quad \cos \widehat A = 1[/math] (вращаемый отрезок и ось вращения лежат в одной плоскости),
получим известную формулу для объема усеченного конуса.

Однако вернемся к формуле (1).

В случае [math]\left|{\overrightarrow E}\right| \ne 1[/math] (у нас это длина диагонали параллелепипеда) формулу (1) следует «отмасштабировать» -
получаемый результат разделить на [math]{\left|{\overrightarrow E}\right|^3}[/math].
Все вышеизложенное учтено в фрагменте /*Расчет объема*/ кода выше (три последние строки).

Если кроме численного значения, нужно получить точное выражение объема для конкретных целочисленных значений ребер, то программа намного усложняется, вычисления требуют дополнительной «ручной работы».
Поясню: допустим, что координаты точек [math]P1[/math], [math]P2[/math] и компоненты вектора [math]\overrightarrow E[/math] рациональны.
Учитывая, что в процессе скалярного или векторного произведения векторов в формуле (1) выполняется только сложение-вычитание и умножение, конечный результат можно представить в виде:
[math]V = \pi \cdot{R}\cdot \left|{\overline E}\right|[/math], где [math]{R}[/math] - рациональное число.
Подробно описывать эту «кухню» по получению точных выражений не буду – в ней много неинтересной рутины.

Но, может быть, у кого хватит настойчивости вывести универсальную формулу [math]V(k,l,m)[/math]?!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
vvvv
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Шарыгина
СообщениеДобавлено: 08 июн 2017, 09:59 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2573
Cпасибо сказано: 165
Спасибо получено:
827 раз в 703 сообщениях
Очков репутации: 249

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не отображаются формулы, записанные в ЛАТЕКСЕ.(Может только у меня :( )

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Шарыгина
СообщениеДобавлено: 09 июн 2017, 22:46 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 471
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
256 раз в 208 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня нормально формулы на ноуте отображаются. На телевизоре со смарт-тв есть незначительные искажения.

Придумал задачку близко к теме:
Найти наибольший объем тела, полученного при вращении прямоугольного параллелепипеда вокруг его диагонали единичной длины.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Шарыгина
СообщениеДобавлено: 10 июн 2017, 09:23 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2573
Cпасибо сказано: 165
Спасибо получено:
827 раз в 703 сообщениях
Очков репутации: 249

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D, по-моему длина оси, вокруг которой вращается объект не имеет значения для того, что получится в результате вращения :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Шарыгина
СообщениеДобавлено: 15 июн 2017, 20:58 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 471
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
256 раз в 208 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У параллелепипеда длина диагонали равна 1, поэтому объем тела ограничен сверху.
Если длина одного ребра параллелепипеда равна 1, то другие имеют нулевую длину.
Объем тела, образуемого при вращении такого вырожденного параллелепипеда вокруг его диагонали, равен 0.
В случае куба длины его ребер будут равны по [math]\frac{1}{{\sqrt 3}}[/math].
Из темы следует, что объем тела равен [math]\frac{\pi}{9}=0.34906585...[/math], но это не максимум :no:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Шарыгина
СообщениеДобавлено: 15 июн 2017, 23:50 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2573
Cпасибо сказано: 165
Спасибо получено:
827 раз в 703 сообщениях
Очков репутации: 249

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так задача ставится так: найти параллелепипед с диагональю равной единице, такой, чтобы объем тела, получающийся при вращении вокруг единичной диагонали был максимальным. Или что то же: Найти параллелепипед с фиксированной диагональю, дающий максимальный объем при вращении вокруг этой диагонали, т.е. найти соотношения между ребрами параллелепипеда.
По-моему, так. Я правильно понял?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Шарыгина
СообщениеДобавлено: 16 июн 2017, 22:35 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 471
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
256 раз в 208 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, правильно.

Похоже, что искомый параллелепипед второго типа, т.е. из его ребер можно составить остроугольный треугольник.
и все они разной длины. Скорее всего, задача решается только численно.

Есть более легкий вариант - найти стороны прямоугольника, дающего при вращении вокруг его диагонали тело максимального объема. Длина диагонали - фиксированная (допустим равна 1).
Вот эта задачка имеет точное решение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Шарыгина
СообщениеДобавлено: 18 июн 2017, 16:20 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2573
Cпасибо сказано: 165
Спасибо получено:
827 раз в 703 сообщениях
Очков репутации: 249

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, это совсем школьная задача :)
См.картинку.Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из учебника Шарыгина
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 01:46 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 471
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
256 раз в 208 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vvvv, у меня другой ответ получился, более сложный. Искомый прямоугольник - не квадрат.

При вращении прямоугольника вокруг его диагонали получается тело, состоящее из двух конусов и двух усеченных конусов. Плоскость симметрии тела проходит через середину диагонали и перпендикулярна ей.
Вы также предполагали?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 77 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задачка из учебника Хаггарти, делимость на 3

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

bat_dmitry

11

586

02 фев 2014, 01:51

Задачка из учебника "Факультативный курс по математике"

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Sergus

8

517

18 окт 2012, 17:50

Задачи из учебника Уилсона

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

briz

0

317

28 май 2013, 10:10

Из учебника 8 кл. Никольский (задача №240)

в форуме Алгебра

ilshat89

2

139

13 сен 2015, 17:42

Вопрос по доказательству из учебника по АТЧ

в форуме Теория чисел

seraphimt

2

251

05 авг 2015, 00:51

Тригонометрическая задача из учебника физики

в форуме Тригонометрия

mephilosoper

20

720

13 окт 2015, 18:14

Интересные задачи из учебника первокласника

в форуме Размышления по поводу и без

funtik

11

816

30 июн 2014, 00:26

Задачи для тренировки материала из учебника Фихтенгольца

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

afraumar

9

265

23 фев 2015, 16:37

Задача по линейному программированию из учебника Х. Таха

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Andy

1

1136

23 окт 2013, 14:43

[Выбор учебника/мет.пособия | Как учить?] Подготовка ТЕОРИИ

в форуме Размышления по поводу и без

SunDayBoy

5

390

06 дек 2011, 15:20


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 21


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved