Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задачка из учебника Шарыгина
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=53992
Страница 6 из 8

Автор:  vvvv [ 03 июн 2017, 22:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Винават. Не поменял углы при вращении параллелепипеда.
Картинка будет такой. Фигура замкнутая.Симметричная. Вычислять нужно шесть объемов.
См.картинку.
Изображение

Автор:  Li6-D [ 04 июн 2017, 15:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Объем тела, образуемого при вращении параллелепипеда с ребрами 4,5,6 вокруг его диагонали, получился равным:
[math]V(4,5,6)=\left({50\sqrt 5 + \frac{{{\text{3362053}}}}{{4800}}}\right)\frac{\pi}{{\sqrt{77}}}={\text{290}}{\text{.793120834661721729790}}...[/math].
Попробуйте численно подсчитать.

Дополнительный радикал в выражении [math]\sqrt{{k^2}+{l^2}-{m^2}}= \sqrt{16 + 25 - 36}= \sqrt 5[/math] возник из-за четвертого и пятого объемов.
Такое усложнение свойственно параллелепипедам, из ребер которых можно составить остроугольный треугольник.

Автор:  vvvv [ 04 июн 2017, 15:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Тем способом, которым считаю я нет никаких усложнений :(
Просто нудная работа.

Автор:  vvvv [ 04 июн 2017, 16:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Li6-D, Вы имеете в виду объемы, указанные на картинке?
Изображение

Автор:  Li6-D [ 04 июн 2017, 16:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Да, именно из-за этих объемов сложнее получить точное выражение.
Численно рассчитать второй случай ([math]k^2+l^2>m^2[/math]) можно с помощью такой программки:
/*Заданные длины ребер параллелепипеда.
Должно выполняться k<=l<=m и k^2+l^2>m^2*/
k=4;
l=5;
m=6;
/*Направляющий вектор диагонали параллелепипеда*/
E=(k,l,m);
/*Ломаная на ребрах параллелепипеда, дающая при вращении половину тела вращения*/
PN=
(0,0,0\
k,0,0\
k,s=(l-k^2/l)/2,0\
0,l-s,0\
0,l,0\
x=(m^2-l^2)*l/(k*l+m*sqrt(k^2+l^2-m^2)),l,0\
0,0,(x*k+l^2)/m\
0,0,m\
(k+(l^2-m^2)/k)/2,0,m);
/*Расчет объема*/
VN=rowsfor(z,1,height PN-1,(((R1=PN[z-1]vert E)+(R2=PN[z]vert E))*R1+R2*R2)*((PN[z]-PN[z-1])*E));
print "Объем тела от вращения параллелепипеда";
print "V=",V=2*sumforeach(V,VN/3/(k^2+l^2+m^2)^2,V)*abs E*pi;


В случае куба с ребром единичной длины получается уже известное значение V= 1.8137993642342...

Автор:  vvvv [ 04 июн 2017, 16:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Li6-D, так Вы вычислили точное выражение объема всей фигуры при ребрах 4,5,6 ?

Автор:  Li6-D [ 04 июн 2017, 17:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Точное выражение получено не без помощи калькулятора и программки.
Сначала вычислена рациональная часть в скобках, затем - множитель при [math]{\sqrt 5}[/math].
Можно было составить алгебраическое выражение в общем виде, но оно получается очень громоздким.
Чудес нет, точный калькулятор решает только численно, не символьно.
Вернее, он правильно покажет, что 12/124+15/129=284/1333, но не распознает рациональности в [math]\frac{1}{{{{\left({4 - \sqrt 5}\right)}^2}}}+ \frac{1}{{{{\left({4 + \sqrt 5}\right)}^2}}}= \frac{{42}}{{121}}[/math].

Будет время, приведу рисунок с характерными точками на ребрах таких параллелепипедов.

Автор:  vvvv [ 04 июн 2017, 17:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Li6-D, что-то Вы витиевато отвечаете.Вот для куба точное выражение для объема получено. И вами и мной.
А для параллелепипеда с ребрами 4,5,6 Вы получили ТОЧНОЕ трансцендентное число (поскольку там должно присутствовать пи и иррациональности)?

Автор:  vvvv [ 04 июн 2017, 18:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Li6-D, что-то я не досмотрел.
Это точное значение объема?!
Изображение

Автор:  Li6-D [ 04 июн 2017, 23:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

vvvv, да точное.

Еще примеры точных выражений:
[math]V(5,6,7) = \left({420\sqrt 3 + \frac{{{\text{4986479}}}}{{{\text{5400}}}}}\right)\frac{\pi}{{\sqrt{110}}}={\text{494}}{\text{.5041315872}}...;[/math]
[math]V(6,7,8) = \left({{\text{588}}\sqrt{21}+ \frac{{{\text{724009}}}}{{{\text{2352}}}}}\right)\frac{\pi}{{\sqrt{149}}}={\text{772}}{\text{.720810752}}...[/math]

Страница 6 из 8 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/