Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Определение диагонали произвольного четырех угольника
СообщениеДобавлено: 22 фев 2017, 14:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 фев 2017, 04:20
Сообщений: 22
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Гораздо проще сразу подсчитать длину диагоналей через площади треугольников, на которые диагонали разбивают четырехугольник.

согласен.
я думал что задача с диагоналями решается просто, но найти формулу не удалось. даже не знаю с какой стороны подойти, просмотрел несколько учебников по геометрии, но ничего подобного нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определение диагонали произвольного четырех угольника
СообщениеДобавлено: 24 фев 2017, 23:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 фев 2017, 04:20
Сообщений: 22
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решение найдено (см. mc_gip_4.pdf) с применением итерационного метода:
- Метод Ньютона
- Метод бисекции

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определение диагонали произвольного четырех угольника
СообщениеДобавлено: 25 фев 2017, 20:29 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для справки - у задачи есть и прямой метод решения (без итераций).
Алгебраически она сводится к решению уравнения 3-ей степени.
Например, для невыпуклого четырехугольника с заданными в теме сторонами есть еще один корень:
117.48353346564145955680...
Поэтому задание или с хитрецой или не до конца продумано.

Код и пример расчета:
/*Заданные стороны и площадь четырехугольника*/
a=200;
b=140;
c=180;
d=160;
/*Расчет коэффициентов кубического уравнения x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0*/
k=a^2+c^2;
l=b^2+d^2;
a1=-(k+l)/2;
a2=k*l/2-(a*c)^2-(b*d)^2;
a3=(k-l)*((a*c)^2-(b*d)^2)/2;
/*Действительный корень кубического уравнения*/
p=a1*a1/9-a2/3;
q=a3/2+(p-a2/6)*a1/3;
dt=q*q-p^3;
x=if(dt<0,2*sqrt(p)*cos(arccos(-q/p/sqrt p)/3),3#(sqrt dt-q)-3#(sqrt dt+q))-a1/3;
print "Диагональ четырехугольника:";
print "x=",x=sqrt x;


Изображение

Здесь все 50 знаков правильные.
О точном калькуляторе можно посмотреть в похожей теме: http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=53132

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
michel, nuget
 Заголовок сообщения: Re: Определение диагонали произвольного четырех угольника
СообщениеДобавлено: 26 фев 2017, 01:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 фев 2017, 04:20
Сообщений: 22
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
Для справки - у задачи есть и прямой метод решения (без итераций).

интересный алгоритм. спасибо
а что за метод используется, кто его разработал?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определение диагонали произвольного четырех угольника
СообщениеДобавлено: 26 фев 2017, 10:44 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Метод заключается в том, что искомая диагональ [math]x[/math] удовлетворяет следующему уравнению:
[math]{x^6}+ a1 \cdot{x^4}+ a2 \cdot{x^2}+ a3 = 0[/math] (1), где:

[math]a1 = - \frac{{{a^2}+{c^2}+{b^2}+{d^2}}}{2}[/math];
[math]a2 = \frac{1}{2}\left( {{a^2} + {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {d^2}} \right) - {a^2}{c^2} - {b^2}{d^2}[/math];
[math]a3 = \frac{1}{2}({a^2} + {c^2} - {b^2} - {d^2})({a^2}{c^2} - {b^2}{d^2})[/math].
Это уравнение 3-ей степени относительно квадрата диагонали.

Его можно решить с помощью формулы Кардано. Комплексные и отрицательные корни отбрасываем.
Из положительных корней извлекаем корень и получаем требуемое.

Формулу (1) можно вывести (попробуйте самостоятельно) из соотношения Бретшнайдера для произведения квадратов диагоналей непересекающегося четырехугольника: [math]{e^2}{f^2}={a^2}{c^2}+{b^2}{d^2}- 2acbd\cos \left({\angle A + \angle C}\right)[/math].
В нашем случае [math]e=f=x[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определение диагонали произвольного четырех угольника
СообщениеДобавлено: 26 фев 2017, 19:58 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 фев 2017, 04:20
Сообщений: 22
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D, вы привели два уравнения:

1. x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0
2. x^6+a1*x^4+a2*x^2+a3=0

уравнение (1) можно определить численно в Mathcad, уравнение (2) вычисляется только символьно.

- почему численный результат уравнения (1) равен 117.4835334656, в место 241.6579007199?
- почему вы определили в условии решение: 3#(sqrt dt-q)-3#(sqrt dt+q), в случае если dt >=0, при каком раскладе это условие выполняется?
- каким образом вы определили коэффициенты (a1, a2, a3)?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определение диагонали произвольного четырех угольника
СообщениеДобавлено: 26 фев 2017, 21:31 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уравнения (1) и (2) алгебраически разрешимы по формуле Кардано.
В коде я решал уравнение (1) и затем извлекал квадратный корень из полученного результата, таким образом получал решение уравнения (2). Причем использовал одну и ту же переменную. Возможно это не самый хороший стиль программирования, что не важно на этом форуме.

241.6579007199 и 117.4835334656 - это два подходящих решения уравнения (2).
На рисунке приведены четырехугольники с этими диагоналями (выделены красным):
Изображение

От того какой будет знак у переменной dt зависит число действительных корней уравнения 3-ей степени.
Посмотрите формулу Кардано, тогда поймете зачем проводится проверка знака.
В данном случае будет три решения (два положительных и одно отрицательное).
По идее надо дописать код, чтобы он тупо считал все решения, даже комплексные.
Как показала практика, нет однозначного результата.

Коэффициенты a1,a2,a3 считаются в коде по формулам в моем предыдущем сообщении.
Для данных сторон получается:
a1=-58800;
a2=-161520000;
a3=10801664000000.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определение диагонали произвольного четырех угольника
СообщениеДобавлено: 26 фев 2017, 22:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 фев 2017, 04:20
Сообщений: 22
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
241.6579007199 и 117.4835334656 - это два подходящих решения уравнения (2).

значение 117.4835334656 не является длиной диагонали, и не является одной из сторон. исходя из представленного вами алгоритма, решение верно, но при этом есть вопросы. возможно, уравнение (2) дает верный результат, но как это соотнести с тем что проедставляет алгоритм? я думаю, уравнение должно быть составлено таким образом, чтобы искомая (x) представляла однозначное определение площади выпуклого четырехугольника.

Li6-D писал(а):
Посмотрите формулу Кардано, тогда поймете, зачем проводится проверка знака.

я пробовал различные варианты исходных парараметров (a,b,c,d), даже с отрицательными числами, ни один не удовлетворяет условию dt>0.

Li6-D писал(а):
Коэффициенты a1,a2,a3 считаются в коде по формулам в моем предыдущем сообщении.

это понятно, но от куда вы взяли определение?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определение диагонали произвольного четырех угольника
СообщениеДобавлено: 26 фев 2017, 22:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 фев 2017, 04:20
Сообщений: 22
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D, я перевел представленный вами алгоритм в формат документа Mathcad (см. mc_gip_5.pdf). для удобства, я разбил решение условия на две части (q1, q2). получается следующее, если dt=0, то результат всегда (q1=q2). поскольку, в данном алгоритме условие dt>0 не выполняется, то можно просто удалить вариант решения q2.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определение диагонали произвольного четырех угольника
СообщениеДобавлено: 26 фев 2017, 22:59 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
117.4835 является длиной диагонали для самопересекающего четырехугольника.
На рисунке он справа. Стороны четырехугольника белые, диагонали красные (по 117.4835).
Как понять какой будет четырехугольник? Наверное больший корень соответствует выпуклому четырехугольнику.
Но в поставленной задаче не было сказано, что четырехугольник должен быть выпуклым.

Раз dt<=0 (что еще не доказано), то в данной задаче имеем три действительных корня.
То есть не все так однозначно.
Попробую доработать код и тоже поэкспериментировать со всеми тремя корнями.

Формулы для a1, a2, a3 выведены исходя из соотношения Бретшнайдера и теоремы косинусов.
Вывод не привожу - кому нужны мои каракули.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.  Страница 2 из 4 [ Сообщений: 36 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Определить угол между сторонами произвольного 4-угольника

в форуме Тригонометрия

lupanton

5

706

28 апр 2018, 17:35

Определение числа простых чисел для произвольного интервала

в форуме Размышления по поводу и без

_Aleksandr_

5

342

26 авг 2020, 16:18

Функция стороны правильного n-угольника

в форуме Размышления по поводу и без

Rawitj

0

190

30 мар 2020, 18:23

Задача о диагоналях правильного 18-угольника

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Uncle Fedor

16

1925

18 июл 2014, 16:44

Формула стороны правильного n-угольника

в форуме Геометрия

Do_you_watch_co

9

509

13 янв 2019, 22:48

Сколько существует разных покрасок 7-угольника?

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Arsen123

1

190

26 июн 2020, 15:36

Сумма расст. от точки круга к вершинам n-угольника постоянна

в форуме Геометрия

IvanSavkiv

12

406

14 июн 2018, 19:32

Центральное проецирование произвольного четырехугольника

в форуме Геометрия

AlexDzhus

0

484

27 янв 2017, 23:25

неравенство для элементов произвольного триугольника

в форуме Геометрия

Tantan

1

209

15 мар 2018, 13:26

Определить плоскость относительно произвольного тела

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

meilis

4

150

06 июн 2022, 23:04


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Jeni Jekova и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved