Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Теорема Мавло
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=52770
Страница 1 из 2

Автор:  Arthur0905 [ 25 янв 2017, 16:15 ]
Заголовок сообщения:  Теорема Мавло

Сегодня столкнулся с задачой, которую пришлось решить с помощью теоремы Мавло. После чего придумал задачу, связанную именно с этой же теоремой.
Внутри треугольника АВС существует следующая обстановка углов: ВАС [math]> ABC > ACB[/math] . Точки Н1, H2 и Н3 основания высот треугольника на сторонах АВ, ВС и АС, соответственно, а точки М1, М2 и М3 середины сторон АВ, ВС и АС. Какая из отрезков H1M1, H2M2, H1M1 имеет наибольшую длину и почему?

Автор:  Race [ 25 янв 2017, 17:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теорема Мавло

Arthur0905 писал(а):
Сегодня столкнулся с задачой, которую пришлось решить с помощью теоремы Мавло. После чего придумал задачу, связанную именно с этой же теоремой.
Внутри треугольника АВС существует следующая обстановка углов: ВАС [math]> ABC > ACB[/math] . Точки Н1, H2 и Н3 основания высот треугольника на сторонах АВ, ВС и АС, соответственно, а точки М1, М2 и М3 середины сторон АВ, ВС и АС. Какая из отрезков H1M1, H2M2, H1M1 имеет наибольшую длину и почему?

Ответ должен быть однозначным для любого треугольника? Либо накладывается ограничение, что основания высот принадлежат сторонам треугольника, то есть исключается тупоугольный?
В принципе само условие уже накладывает это ограничение.
Если верить построению, то минимальный на против меньше угла, максимальный на против среднего и средний на против максимального.
Изображение

Автор:  Arthur0905 [ 25 янв 2017, 20:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теорема Мавло

Race писал(а):
Arthur0905 писал(а):
Сегодня столкнулся с задачой, которую пришлось решить с помощью теоремы Мавло. После чего придумал задачу, связанную именно с этой же теоремой.
Внутри треугольника АВС существует следующая обстановка углов: ВАС [math]> ABC > ACB[/math] . Точки Н1, H2 и Н3 основания высот треугольника на сторонах АВ, ВС и АС, соответственно, а точки М1, М2 и М3 середины сторон АВ, ВС и АС. Какая из отрезков H1M1, H2M2, H1M1 имеет наибольшую длину и почему?

Ответ должен быть однозначным для любого треугольника? Либо накладывается ограничение, что основания высот принадлежат сторонам треугольника, то есть исключается тупоугольный?
В принципе само условие уже накладывает это ограничение.
Если верить построению, то минимальный на против меньше угла, максимальный на против среднего и средний на против максимального.
Изображение

Что-то у меня никак не получается доказать то, что получилось у вас на картинке :unknown:

Автор:  Race [ 26 янв 2017, 09:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теорема Мавло

Arthur0905 писал(а):
Что-то у меня никак не получается доказать то, что получилось у вас на картинке :unknown:

Тупоугольные отпали по условию, т.к. все основания высот находятся на сторонах треугольника.
Построение элементарно, строите любой не тупоугольный треугольник, находите середины сторон, это и будут основания медиан. Из основания медиан, радиусом равным половине стороны на которой оно находится строите окружность. Для остроугольного треугольника, точки пересечения этой окружности с другими сторонами будут основаниями высот. Для тупоугольного основаниями высот будут точки пересечения сторон и точки пересечения окружностей справа и слева от тупого угла.

По поводу не получается доказать, может решение будет частным для каждого отдельного треугольника?

Автор:  Arthur0905 [ 26 янв 2017, 17:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теорема Мавло

Race писал(а):
Arthur0905 писал(а):
Что-то у меня никак не получается доказать то, что получилось у вас на картинке :unknown:

Тупоугольные отпали по условию, т.к. все основания высот находятся на сторонах треугольника.
Построение элементарно, строите любой не тупоугольный треугольник, находите середины сторон, это и будут основания медиан. Из основания медиан, радиусом равным половине стороны на которой оно находится строите окружность. Для остроугольного треугольника, точки пересечения этой окружности с другими сторонами будут основаниями высот. Для тупоугольного основаниями высот будут точки пересечения сторон и точки пересечения окружностей справа и слева от тупого угла.

По поводу не получается доказать, может решение будет частным для каждого отдельного треугольника?

Даже если решение частное для каждого треугольника, то нужно это доказать, хотя с этим вариантом я не согласен. По-моему решение одно для остроугольных треугольников.

Автор:  Race [ 27 янв 2017, 12:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теорема Мавло

Arthur0905 писал(а):
Race писал(а):
Arthur0905 писал(а):
[offtop]Что-то у меня никак не получается доказать то, что получилось у вас на картинке :unknown:

Тупоугольные отпали по условию, т.к. все основания высот находятся на сторонах треугольника.
Построение элементарно, строите любой не тупоугольный треугольник, находите середины сторон, это и будут основания медиан. Из основания медиан, радиусом равным половине стороны на которой оно находится строите окружность. Для остроугольного треугольника, точки пересечения этой окружности с другими сторонами будут основаниями высот. Для тупоугольного основаниями высот будут точки пересечения сторон и точки пересечения окружностей справа и слева от тупого угла.

По поводу не получается доказать, может решение будет частным для каждого отдельного треугольника?

Даже если решение частное для каждого треугольника, то нужно это доказать, хотя с этим вариантом я не согласен. По-моему решение одно для остроугольных треугольников.[/offtop]

Я не нашел в интернете т-му Мавло в явном виде. Выложите, если не сложно, от куда начинать крутить, может вместе раскрутим сей орех.

Автор:  Arthur0905 [ 27 янв 2017, 13:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теорема Мавло

Race писал(а):
Arthur0905 писал(а):
Race писал(а):
Arthur0905 писал(а):
[offtop]Что-то у меня никак не получается доказать то, что получилось у вас на картинке :unknown:

Тупоугольные отпали по условию, т.к. все основания высот находятся на сторонах треугольника.
Построение элементарно, строите любой не тупоугольный треугольник, находите середины сторон, это и будут основания медиан. Из основания медиан, радиусом равным половине стороны на которой оно находится строите окружность. Для остроугольного треугольника, точки пересечения этой окружности с другими сторонами будут основаниями высот. Для тупоугольного основаниями высот будут точки пересечения сторон и точки пересечения окружностей справа и слева от тупого угла.

По поводу не получается доказать, может решение будет частным для каждого отдельного треугольника?

Даже если решение частное для каждого треугольника, то нужно это доказать, хотя с этим вариантом я не согласен. По-моему решение одно для остроугольных треугольников.[/offtop]

Я не нашел в интернете т-му Мавло в явном виде. Выложите, если не сложно, от куда начинать крутить, может вместе раскрутим сей орех.

Теорема Мавло: треугольник на своей окружности девяти точек отсекает внешним образом три дуги таким образом, что длина наибольшей из них равна сумме длин двух оставшихся дуг.
Остаётся только найти метод, с помощью которого можно обнаружить большую дугу.

Автор:  Race [ 27 янв 2017, 14:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теорема Мавло

Arthur0905 писал(а):
Race писал(а):
Arthur0905 писал(а):
Race писал(а):
Arthur0905 писал(а):
[offtop]Что-то у меня никак не получается доказать то, что получилось у вас на картинке :unknown:

Тупоугольные отпали по условию, т.к. все основания высот находятся на сторонах треугольника.
Построение элементарно, строите любой не тупоугольный треугольник, находите середины сторон, это и будут основания медиан. Из основания медиан, радиусом равным половине стороны на которой оно находится строите окружность. Для остроугольного треугольника, точки пересечения этой окружности с другими сторонами будут основаниями высот. Для тупоугольного основаниями высот будут точки пересечения сторон и точки пересечения окружностей справа и слева от тупого угла.

По поводу не получается доказать, может решение будет частным для каждого отдельного треугольника?

Даже если решение частное для каждого треугольника, то нужно это доказать, хотя с этим вариантом я не согласен. По-моему решение одно для остроугольных треугольников.[/offtop]

Я не нашел в интернете т-му Мавло в явном виде. Выложите, если не сложно, от куда начинать крутить, может вместе раскрутим сей орех.

Теорема Мавло: треугольник на своей окружности девяти точек отсекает внешним образом три дуги таким образом, что длина наибольшей из них равна сумме длин двух оставшихся дуг.
Остаётся только найти метод, с помощью которого можно обнаружить большую дугу.

Не думаю что разработка методики решения подобной задачи настолько трививальна как Вам кажется. Хотя, есть шанс, что Доцент или Лид Вам помогут.

Автор:  Race [ 27 янв 2017, 16:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теорема Мавло

Так как соотношение длин отрезков меняется с изменением углом треугольника, возьму на себя смелость сделать предположение, что соотношение этих отрезков зависит от тригонометрических функций углов треугольника.
Постараюсь найти где то доказательство этой теоремы, может тогда будет более понятно. А так да, построение подтверждает, что сумма углов образованых радиусами окружности Эйлера и основаниями высот и медиан выполняется.

Автор:  Arthur0905 [ 27 янв 2017, 18:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теорема Мавло

Я и не говорю, что это столь важна, это простая геометрическая задача. Я когда выкладывал задачу, думал что это уже хорошо изученная задача и не нужно будет доказать, оказывается нет. По поводу тригонометрических функций полностью согласен, тоже попробую доказать именно этим путём.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/