Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Биссектрисы треугольника
СообщениеДобавлено: 23 янв 2017, 15:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 сен 2016, 19:37
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В треугольнике со сторонами 5см, 6см и 7см проведены биссектрисы. Основания биссектрис так же образуют треугольник. Найдите площадь полученного треугольника.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Биссектрисы треугольника
СообщениеДобавлено: 23 янв 2017, 16:26 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 21:32
Сообщений: 1066
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
190 раз в 177 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
kpn65
Надо рассмотреть вписанную окружность и использовать теорему синусов для нахождения длин её сторон.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Биссектрисы треугольника
СообщениеДобавлено: 23 янв 2017, 17:10 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
kpn65, не понял, что вы имеете в виду, потому решил тупо в лоб Решение не изящное и не оптимальное.
Изображение
Имеем треугольник АВС и треугольник образованный основаниями биссектрис DEF
Для удобства обозначим;
AB=c, BC=a, AC=d =>
AD/DC=c/a; AE/EB=b/a; BF/FC=c/b
AD+DC=b => DC=ab/(c+a) => AD=bc/(c+a)
AE+EB=c =>EB=ca/(b+a) => AE=cb/(b+a)
BF+FC=a => FC=ba(b+c) => BF=ac/(b+c)
Так как площадь треугольника придется считать по Герону, подставляем числовые значение:
a=5; b=6; c=7 =>
DC=30/12=5/2; AD=42/12=7/2
EB=35/11; AE=42/11
FC=30/13; BF=35/13
Проверяем по сумме сходится.
Находим площадь основного треугольника по Герону:

[math]\boldsymbol{S}=\frac{ 1 }{ 4 } \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}= \frac{ 1}{ 4 } \sqrt{18*4*6*8} =6\sqrt{6}[/math]

[math]\boldsymbol{S} =\frac{ 1 }{ 2 } ab*sinC[/math] => [math]\boldsymbol{sinC}=\frac{2S }{ab }=\frac{ 2\sqrt{6} }{ 5 }[/math]

[math]\boldsymbol{S} =\frac{ 1 }{ 2 } bc*sinA[/math] => [math]\boldsymbol{sinA}=\frac{2S }{bc }=\frac{12 \sqrt{6} }{ 35 }[/math]

[math]\boldsymbol{S} =\frac{ 1 }{ 2 } ca*sinB[/math] => [math]\boldsymbol{sinB}=\frac{2S }{ca }=\frac{2\sqrt{6} }{7 }[/math]

[math]\boldsymbol{S}_{AED}=\frac{ 1 }{ 2 }AE*AD*sinA=\frac{ 1*7*42*12\sqrt{6} }{ 2*2*11*35 } =\frac{126\sqrt{6} }{ 55 }[/math]

[math]\boldsymbol{S}_{BEF}=\frac{ 1 }{ 2 }BE*BF*sinB=\frac{ 1*35*35*2\sqrt{6} }{ 2*11*13*7 } =\frac{175\sqrt{6} }{ 143 }[/math]

В общем уже по построению вижу, что где то ошибся... но путь решения понятен, точно так же определяем прощадь треугольника DCF, и затем вычитаем из площади АВС площади трех меньших треугольников....
Где ошибся, искать пока времени нету.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Биссектрисы треугольника
СообщениеДобавлено: 23 янв 2017, 17:57 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
kpn65
 Заголовок сообщения: Биссектрисы
СообщениеДобавлено: 23 янв 2017, 21:13 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 508
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 101 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Зная отношение AE/AB и AD/AC (из св-ва биссектрис) и площадь ABC (по Герону), находим площадь AED. Аналогично для тр-ков BEF и CFD. А потом отнимаем их площадь от площади ABC.
(это я использовал чертеж Race)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Биссектрисы
СообщениеДобавлено: 23 янв 2017, 22:34 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
chebo писал(а):
Зная отношение AE/AB и AD/AC (из св-ва биссектрис) и площадь ABC (по Герону), находим площадь AED. Аналогично для тр-ков BEF и CFD. А потом отнимаем их площадь от площади ABC.
(это я использовал чертеж Race)

Это как то отличается от того что я написал?:)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: 23 янв 2017, 23:31 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 508
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 101 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По существу нет, кроме того, что можно обойтись без синусов. Я просто думаю, что дать короткий и понятный план решения полезнее, чем привести полное решение без пояснений. Ну тот, кто задает вопрос, должен же сам немножко подумать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re:
СообщениеДобавлено: 24 янв 2017, 09:07 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
chebo писал(а):
По существу нет, кроме того, что можно обойтись без синусов. Я просто думаю, что дать короткий и понятный план решения полезнее, чем привести полное решение без пояснений. Ну тот, кто задает вопрос, должен же сам немножко подумать.

О, это уже интереснее, а как вы определили площадь маленьких треугольников без синусов? Я не смог найти такого способа.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Биссектрисы треугольника
СообщениеДобавлено: 24 янв 2017, 09:33 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 508
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 101 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race писал(а):
О, это уже интереснее, а как вы определили площадь маленьких треугольников без синусов? Я не смог найти такого способа.
Известный способ:
[math]S_{AED}=\frac{AE}{AB}\cdot \frac{AD}{AC}\cdot S_{ABC}[/math]
(Вы его фактически вывели. Собственно, через синусы он и выводится)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю chebo "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Биссектрисы треугольника
СообщениеДобавлено: 24 янв 2017, 22:26 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В отношении объемов двух тетраэдров это тоже выполняется.

Если на лучах [AB),[AC),[AD) взяты точки B',C',D', то объемы тетраэдров ABCD и AB'C'D' относятся как

[math]\frac{{\left|{AB}\right|}}{{\left|{AB'}\right|}}\cdot \frac{{\left|{AC}\right|}}{{\left|{AC'}\right|}}\cdot \frac{{\left|{AD}\right|}}{{\left|{AD'}\right|}}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Биссектрисы равнобедренного треугольника

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

valeraed

2

211

04 ноя 2019, 09:35

Как найти биссектрисы углов треугольника в пространстве?

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

e7min

10

926

21 апр 2019, 13:09

Найти две вершины треугольника, если даны две биссектрисы

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Queenie

0

408

09 дек 2015, 15:57

Биссектрисы тетраэдра

в форуме Геометрия

levon

8

293

01 май 2022, 11:38

Биссектрисы в треугольнике

в форуме Геометрия

Alex_Korneplod

2

272

12 дек 2021, 15:32

Биссектрисы углов

в форуме Геометрия

sfanter

1

655

26 июн 2014, 00:11

Биссектрисы трапеции

в форуме Геометрия

sfanter

1

364

05 апр 2015, 22:10

Параллелограмм и его биссектрисы

в форуме Геометрия

aninibas

9

1685

16 сен 2014, 22:34

Биссектрисы трапеции

в форуме Геометрия

sfanter

2

424

23 июл 2014, 11:30

Биссектрисы в треугольнике

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

wrobel

10

552

24 ноя 2022, 11:44


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: ferma-T и гости: 21


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved