Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Куб и сфера
СообщениеДобавлено: 19 май 2016, 00:41 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 май 2016, 18:27
Сообщений: 60
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброй ночи всем заглянувшим!

Прошу помощи в понимании и раздумьях такой задачки:

Дан куб [math]ABCDA1B1C1D1[/math] с ребром [math]1[/math]. Найдите радиус сферы, проходящей через вершины [math]C[/math], [math]C1[/math] и касающейся прямых [math]AB[/math] и [math]AD[/math].

Пока нарисовала только куб. Не очень понятно, как правильно изобразить на рисунке такую сферу (это ведь нужно?). А где радиус располагается и как его можно найти - пока вообще тьма...
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Куб и сфера
СообщениеДобавлено: 19 май 2016, 06:57 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 дек 2013, 14:03
Сообщений: 827
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 131
Спасибо получено:
317 раз в 255 сообщениях
Очков репутации: 98

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Найдите вначале радиус окружности в сечении гранью ABCD...Потом радиус сферы - по т. Пифагора...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Куб и сфера
СообщениеДобавлено: 19 май 2016, 13:32 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 май 2016, 18:27
Сообщений: 60
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Dotsent писал(а):
Изображение

Найдите вначале радиус окружности в сечении гранью ABCD...Потом радиус сферы - по т. Пифагора...

Спасибо за ответ. Только я не знаю, как мне к нему подобраться. Все, что по Вашему рисунку можно сказать - это что центр окружности лежит на диагонали квадрата (и это еще доказать надо) и что радиус чуть меньше половины диагонали. А на сколько меньше - не понятно. Как можно узнать, чему равен этот маленький кусочек?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Куб и сфера
СообщениеДобавлено: 19 май 2016, 14:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Опустите перпендикуляры из точки О на стороны АВ и АD. Это радиусы окружности. ОС - тоже радиус.
Теперь обозначаем радиус за r и выражаем через r гипотенузу ОА.
АС=ОС+ОА
Составляем уравнение и находим r.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
1805
 Заголовок сообщения: Re: Куб и сфера
СообщениеДобавлено: 19 май 2016, 14:10 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 май 2016, 18:27
Сообщений: 60
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
radix писал(а):
Опустите перпендикуляры из точки О на стороны АВ и АD. Это радиусы окружности. ОС - тоже радиус.
Теперь обозначаем радиус за r и выражаем через r гипотенузу ОА.
АС=ОС+ОА
Составляем уравнение и находим r.

Ой, действительно просто) как сама не додумалась) спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Куб и сфера
СообщениеДобавлено: 19 май 2016, 14:41 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 май 2016, 18:27
Сообщений: 60
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
radix писал(а):
Опустите перпендикуляры из точки О на стороны АВ и АD. Это радиусы окружности. ОС - тоже радиус.
Теперь обозначаем радиус за r и выражаем через r гипотенузу ОА.
АС=ОС+ОА
Составляем уравнение и находим r.

r = 2 - корень из двух. Верно?
А как дальше найти радиус сферы? Я даже не знаю, где располагается ее центр...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Куб и сфера
СообщениеДобавлено: 19 май 2016, 17:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Через точку касания сферы и АД проведем плоскость, перпендикулярную АД.
Через точки С1, С, А проведем плоскость.
Эти две плоскости пересекаются по прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через точку О.

На этой прямой лежит центр сферы.
Чтобы его найти, через середину отрезка СС1 проведем плоскость, перпендикулярную этому отрезку. Точка пересечения этой плоскости и построенной прямой - и есть центр сферы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
1805
 Заголовок сообщения: Re: Куб и сфера
СообщениеДобавлено: 19 май 2016, 17:44 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 май 2016, 18:27
Сообщений: 60
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
radix писал(а):
Через точку касания сферы и АД проведем плоскость, перпендикулярную АД.
Через точки С1, С, А проведем плоскость.
Эти две плоскости пересекаются по прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через точку О.

На этой прямой лежит центр сферы.
Чтобы его найти, через середину отрезка СС1 проведем плоскость, перпендикулярную этому отрезку. Точка пересечения этой плоскости и построенной прямой - и есть центр сферы.

Спасибо Вам!)
Картинка вот такая получилась:
Изображение
Теперь нужно рассматривать трапецию [math]OO1GC[/math] для нахождения искомого радиуса?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Куб и сфера
СообщениеДобавлено: 19 май 2016, 17:51 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, единственно, я немного поправлюсь, думаю, нужно проводить не плоскость АСС1, а вторую плоскость, перпендикулярную касательной АВ через точку касания.
Потому что доказать, что центр сферы лежит на плоскости АСС1, как мне кажется, будет затруднительно.

Так что оставляем плоскость, проходящую через точку F и проводим вторую через точку касания с АВ. Эти плоскости пересекутся по той же прямой, проходящей через точку О и перпендикулярную основанию.

А уже потом через эту прямую и параллельную ей СС1 проводим плоскость, которую Вы выделили штриховкой.

А искомый радиус - О1С1. Можно найти из прямоугольных треугольников АСС1 и АОО1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Куб и сфера
СообщениеДобавлено: 19 май 2016, 20:56 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если дорисовать картинку Dotsent-а получится окружность, вписанная в прямоугольный треугольник с катетами 2:
Изображение

Радиус этой окружности: [math]r = \frac{{2S}}{P}= \frac{{2 \cdot \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 2}}{{2 + 2 + 2\sqrt 2}}= 2 - \sqrt 2.[/math]

Радиус сферы: [math]R = \sqrt{{{\left({\frac{1}{2}}\right)}^2}+{r^2}}= \frac{{\sqrt{25 - 16\sqrt 2}}}{2}={\text{0}}{\text{.77015956}}\ldots[/math]

Заметим, что сфера еще касается и прямых A1B1, A1D1 (сфера и куб симметричны относительно плоскости, проходящей через середину ребра CC1 и перпендикулярно ему).
Центр сферы находить в этом способе решения необязательно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
1805
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 17 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сфера

в форуме Геометрия

Olga1975

2

278

11 апр 2016, 22:42

Куб и сфера

в форуме Геометрия

1805

9

923

27 май 2016, 01:35

Пирамида и сфера

в форуме Геометрия

nicat

1

340

28 май 2016, 18:19

Шар.Сфера.Многоугольники

в форуме Геометрия

WorldWild

5

321

10 окт 2016, 08:48

Сфера и жидкость

в форуме Механика

PesVasy757

7

484

08 авг 2017, 12:27

Сфера Римана

в форуме Палата №6

ivashenko

12

1451

07 окт 2018, 11:43

Need хeлп, сфера

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Juhen

10

367

14 янв 2022, 17:06

Точки и сфера

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

psp

0

53

28 дек 2023, 00:05

Пирамида и сфера

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

vvvv

22

640

17 фев 2024, 01:21

Сфера, шарик, магниты

в форуме Дискуссионные математические проблемы

tigra-migra

3

567

30 янв 2018, 12:54


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved