Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача C2
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=48765
Страница 1 из 1

Автор:  lokk29 [ 13 май 2016, 13:19 ]
Заголовок сообщения:  Задача C2

Изображение
Помогите решить, пожалуйста.

Автор:  Avgust [ 13 май 2016, 20:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача C2

Решил не общим геометрическим способом, а частным способом, предполагая, что при любых значениях сторон исходного треугольника соотношение площадей постоянно. Соотношения 2:1, 3:2, 3:1 принял как размеры. Получается прямоугольный треугольник Пифагора со сторонами 3, 4, 5. Нашел методом подобия треугольников координату точки K (точки P и M имеют очевидные координаты) и по этим координатам определил численно прощадь S. Также численно нашел площадь треугольника ABC и, естественно, соотношение этих площадей. Вот что получил:

Изображение

Интересно, ответ верный?

Автор:  Li6-D [ 13 май 2016, 21:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача C2

Проверка другим методом:
[math]{S_\vartriangle}_{AMP}= \frac{{\left|{AP}\right|}}{{\left|{AC}\right|}}\cdot \frac{{\left|{AM}\right|}}{{\left|{AB}\right|}}\cdot{S_\vartriangle}_{ABC}= \frac{1}{{1 + 3}}\cdot \frac{2}{{2 + 1}}\cdot{S_\vartriangle}_{ABC}= \frac{{{S_\vartriangle}_{ABC}}}{6}.[/math]
[math]{S_\vartriangle}_{BMK}= \frac{{\left|{BK}\right|}}{{\left|{BC}\right|}}\cdot \frac{{\left|{BM}\right|}}{{\left|{AB}\right|}}\cdot{S_\vartriangle}_{ABC}= \frac{3}{{3 + 2}}\cdot \frac{1}{{1 + 2}}\cdot{S_\vartriangle}_{ABC}= \frac{{{S_\vartriangle}_{ABC}}}{5}.[/math]
[math]{S_\vartriangle}_{CKP}= \frac{{\left|{CP}\right|}}{{\left|{AC}\right|}}\cdot \frac{{\left|{CK}\right|}}{{\left|{CB}\right|}}\cdot{S_\vartriangle}_{ABC}= \frac{3}{{3 + 1}}\cdot \frac{2}{{2 + 3}}\cdot{S_\vartriangle}_{ABC}= \frac{{3{S_\vartriangle}_{ABC}}}{{10}}.[/math]

[math]S ={S_\vartriangle}_{MKP}={S_\vartriangle}_{ABC}-{S_\vartriangle}_{AMP}-{S_\vartriangle}_{BMK}-{S_\vartriangle}_{CKP}= \left({1 - \frac{1}{6}- \frac{1}{5}- \frac{3}{{10}}}\right){S_\vartriangle}_{ABC}= \frac{{{S_\vartriangle}_{ABC}}}{3}.[/math]
Ответы совпадают.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/