Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать, что правильная пирамида - тетраэдр
СообщениеДобавлено: 05 окт 2015, 20:28 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
03 окт 2015, 07:10
Сообщений: 125
Cпасибо сказано: 54
Спасибо получено:
26 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте!

Текст задачи: "Дана правильная треугольная пирамида [math]\boldsymbol{M} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}[/math] с основанием [math]\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}[/math] . На ребре [math]\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}[/math] отмечена точка [math]\boldsymbol{K}[/math] . Сечение [math]\boldsymbol{M} \boldsymbol{K} \boldsymbol{C}[/math] является равнобедренным треугольником с основанием [math]\boldsymbol{M} \boldsymbol{C}[/math] ...
У меня вопрос. Можно ли утверждать, что данная треугольная пирамида - тетраэдр? Если можно, то как это доказать? Я сам что-то не вижу доказательства.
Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что правильная пирамида - тетраэдр
СообщениеДобавлено: 06 окт 2015, 01:15 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) Докажите, что в любой правильной треугольной пирамиде прямые, содержащие скрещивающиеся рёбра, перпендикулярны.
2) Пусть [math]D[/math] - середина ребра [math]MC[/math]. Проведём через точку [math]D[/math] прямую [math]s[/math], параллельную прямой [math]AB[/math], а через параллельные прямые [math]AB[/math] и [math]s[/math] проведём плоскость [math]\alpha[/math]. Докажите, что [math]\left( {MC} \right) \bot \alpha[/math] и [math]\left( {MC} \right) \bot \left( {AD} \right)[/math].
3) Чем является отрезок [math]AD[/math] для треугольника [math]AMC[/math]?

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали:
hpbhpb
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что правильная пирамида - тетраэдр
СообщениеДобавлено: 06 окт 2015, 06:59 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
03 окт 2015, 07:10
Сообщений: 125
Cпасибо сказано: 54
Спасибо получено:
26 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Проверьте, пожалуйста, я всё правильно сделал или нет:

1) Так как проекция проекция ребра [math]\boldsymbol{M} \boldsymbol{C}[/math] на плоскость [math]\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}[/math] перпендикулярна стороне основания [math]\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}[/math] , то можно утверждать, что [math]\boldsymbol{M} \boldsymbol{C}[/math] [math]\perp[/math] [math]\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}[/math] .
2) Пусть [math]\boldsymbol{D}[/math] - середина ребра [math]\boldsymbol{M} \boldsymbol{C}[/math] . Проведём через точку [math]\boldsymbol{D}[/math] прямую [math]\boldsymbol{s}[/math] , параллельную прямой [math]\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}[/math] . Через прямые [math]\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}[/math] и [math]\boldsymbol{s}[/math] проведём плоскость [math]\alpha[/math] . Так как в пункте 1) мы утверждали, что [math]\boldsymbol{M} \boldsymbol{C} \perp[/math] [math]\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}[/math] и [math]\boldsymbol{K} \boldsymbol{D} \perp \boldsymbol{M} \boldsymbol{C}[/math] (по условию [math]\triangle \boldsymbol{M} \boldsymbol{K} \boldsymbol{C}[/math] - равнобедеренный с основанием [math]\boldsymbol{M} \boldsymbol{C}[/math] ), то и [math]\boldsymbol{M} \boldsymbol{C}[/math] будет также перпендикулярна плоскости [math]\alpha[/math] , содержащей прямую [math]\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}[/math] . А так как [math]\boldsymbol{M} \boldsymbol{C}[/math] [math]\perp \boldsymbol{\alpha}[/math] , то [math]\boldsymbol{M} \boldsymbol{C}[/math] будет перпендикулярна прямой [math]\boldsymbol{A} \boldsymbol{D}[/math] , находящейся в плоскости [math]\boldsymbol{\alpha}[/math] .
3) Так как [math]\boldsymbol{M} \boldsymbol{C}[/math] [math]\perp[/math] [math]\boldsymbol{A} \boldsymbol{D}[/math] и в то же время [math]\boldsymbol{D}[/math] - середина [math]\boldsymbol{M} \boldsymbol{C}[/math], то для треугольника [math]\boldsymbol{A} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C}[/math] отрезок [math]\boldsymbol{A} \boldsymbol{D}[/math] будет являться одновременно и бисектрисой, и высотой. Из этого следует, что [math]\boldsymbol{A} \boldsymbol{M}[/math] [math]=[/math] [math]\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}[/math].
То есть [math]\boldsymbol{M} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}[/math] - правильный тетраэдр.

Заранее благодарю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что правильная пирамида - тетраэдр
СообщениеДобавлено: 06 окт 2015, 09:19 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Почему отрезок [math]AD[/math] является биссектрисой треугольника [math]AMC[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали:
hpbhpb
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что правильная пирамида - тетраэдр
СообщениеДобавлено: 06 окт 2015, 09:34 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
03 окт 2015, 07:10
Сообщений: 125
Cпасибо сказано: 54
Спасибо получено:
26 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не биссектрисой, а медианой! Я ошибся!! Спасибо!!! Теперь всё правильно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что правильная пирамида - тетраэдр
СообщениеДобавлено: 06 окт 2015, 09:43 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
hpbhpb, решение правильное, только все ваши утверждения нужно обосновывать, ссылаясь на соответствующие теоремы и определения. И одно примечание: прямую [math]s[/math] вообще можно было не проводить, это я сделал для наглядности рисунка. Плоскость [math]\alpha[/math] можно было провести через точку [math]D[/math] и прямую [math]AB[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали:
hpbhpb
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что правильная пирамида - тетраэдр
СообщениеДобавлено: 06 окт 2015, 10:05 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
03 окт 2015, 07:10
Сообщений: 125
Cпасибо сказано: 54
Спасибо получено:
26 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, я понял все замечания. Спасибо Вам большое!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что правильная пирамида - тетраэдр
СообщениеДобавлено: 06 окт 2015, 10:09 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пожалуйста! :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Правильная пирамида

в форуме Геометрия

murmur

2

424

20 май 2014, 20:28

Правильная пирамида

в форуме Геометрия

Olga1975

2

359

01 дек 2015, 14:54

Правильная пирамида

в форуме Геометрия

bnr07

1

442

18 фев 2016, 18:36

Правильная треугольная пирамида

в форуме Геометрия

zhur1n

66

3764

09 июл 2015, 08:17

Правильная треугольная пирамида

в форуме Геометрия

Annixtell

2

682

12 сен 2018, 12:55

Правильная четырехугольная пирамида

в форуме Геометрия

Annixtell

5

388

08 сен 2018, 18:42

Правильная пирамида и вписанный в нее шар

в форуме Геометрия

Nonaaa

0

109

28 янв 2020, 14:06

Правильная четырехугольная пирамида

в форуме Геометрия

Jeni Jekova

5

464

19 апр 2023, 21:05

Правильная шестиугольная пирамида и конус

в форуме Геометрия

kisssa1989

4

592

21 дек 2017, 14:24

Стереометрия. правильная четырехугольная пирамида

в форуме Геометрия

Blamere

1

427

18 апр 2014, 16:07


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 28


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved