Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Треугольник
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=41182
Страница 1 из 2

Автор:  nicat [ 16 май 2015, 14:28 ]
Заголовок сообщения:  Треугольник

Изображение

Автор:  Avgust [ 16 май 2015, 17:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Треугольник

Для этого достаточно доказать, что сумма биссектрис не меньше, чем 9r

Графически это доказать удалось:

Изображение

Математически это можно сделать через производные, приравненные нулю.

Автор:  andrei [ 16 май 2015, 17:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Треугольник

ошибка

Автор:  nicat [ 16 май 2015, 17:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Треугольник

Изображение есть такая формула но не знаю нам поможет ?

Автор:  nicat [ 16 май 2015, 17:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Треугольник

Изображениетак можно?

Автор:  andrei [ 16 май 2015, 17:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Треугольник

У меня почему то получается неравенство с точностью до наоборот :(

Автор:  mad_math [ 16 май 2015, 18:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Треугольник

Avgust писал(а):
Графически это доказать удалось:

Математически это можно сделать через производные, приравненные нулю.
А нужно доказать при помощи школьной планиметрии.

Автор:  Prokop [ 16 май 2015, 18:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Треугольник

Можно попробовать так:
[math]AM + BM + CM = r\left({\frac{1}{{\sin \alpha}}+ \frac{1}{{\sin \beta}}+ \frac{1}{{\sin \gamma}}}\right) = 3r\left({\frac{1}{3}\frac{1}{{\sin \alpha}}+ \frac{1}{3}\frac{1}{{\sin \beta}}+ \frac{1}{3}\frac{1}{{\sin \gamma}}}\right) \geqslant 3r\frac{1}{{\sin \left({\frac{{\alpha + \beta + \gamma}}{3}}\right)}}= 6r[/math],
где [math]\alpha ,\,\beta \,,\gamma[/math] - половины углов [math]A, B, C[/math], [math]\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}[/math].
Неравенство в соотношении следует из выпуклости функции [math]\frac{1}{{\sin x}}[/math] на промежутке [math]x \in \left({0,\pi}\right)[/math].

Автор:  nicat [ 16 май 2015, 19:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Треугольник

Извините, а как можно доказать Изображение

Автор:  Prokop [ 16 май 2015, 19:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Треугольник

Возможно, это неравенство можно доказать иначе, но я воспользовался выпуклостью функции [math]f\left( x \right) = \frac{1}{{\sin x}}[/math] на промежутке [math]\left({0,\pi}\right)[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/