| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Треугольник http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=41182 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | nicat [ 16 май 2015, 14:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Треугольник |
| Автор: | Avgust [ 16 май 2015, 17:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Треугольник |
Для этого достаточно доказать, что сумма биссектрис не меньше, чем 9r Графически это доказать удалось: ![]() Математически это можно сделать через производные, приравненные нулю. |
|
| Автор: | andrei [ 16 май 2015, 17:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Треугольник |
ошибка |
|
| Автор: | nicat [ 16 май 2015, 17:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Треугольник |
| Автор: | nicat [ 16 май 2015, 17:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Треугольник |
| Автор: | andrei [ 16 май 2015, 17:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Треугольник |
У меня почему то получается неравенство с точностью до наоборот
|
|
| Автор: | mad_math [ 16 май 2015, 18:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Треугольник |
Avgust писал(а): Графически это доказать удалось: А нужно доказать при помощи школьной планиметрии.
Математически это можно сделать через производные, приравненные нулю. |
|
| Автор: | Prokop [ 16 май 2015, 18:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Треугольник |
Можно попробовать так: [math]AM + BM + CM = r\left({\frac{1}{{\sin \alpha}}+ \frac{1}{{\sin \beta}}+ \frac{1}{{\sin \gamma}}}\right) = 3r\left({\frac{1}{3}\frac{1}{{\sin \alpha}}+ \frac{1}{3}\frac{1}{{\sin \beta}}+ \frac{1}{3}\frac{1}{{\sin \gamma}}}\right) \geqslant 3r\frac{1}{{\sin \left({\frac{{\alpha + \beta + \gamma}}{3}}\right)}}= 6r[/math], где [math]\alpha ,\,\beta \,,\gamma[/math] - половины углов [math]A, B, C[/math], [math]\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}[/math]. Неравенство в соотношении следует из выпуклости функции [math]\frac{1}{{\sin x}}[/math] на промежутке [math]x \in \left({0,\pi}\right)[/math]. |
|
| Автор: | nicat [ 16 май 2015, 19:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Треугольник |
Извините, а как можно доказать
|
|
| Автор: | Prokop [ 16 май 2015, 19:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Треугольник |
Возможно, это неравенство можно доказать иначе, но я воспользовался выпуклостью функции [math]f\left( x \right) = \frac{1}{{\sin x}}[/math] на промежутке [math]\left({0,\pi}\right)[/math] |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|