Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 13 мар 2015, 10:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 мар 2015, 09:42
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день, коллеги.

Задался целью решить "гробовую" задачу №6 со вступительного экзамена на Мехмат 2000 года (вариант майской "олимпиады"). Формулировка (доступна на сайте приёмной комиссии) следующая:

Параллельные плоскости альфа и бета делят тетраэдр ABCD на три части так, что объём средней части меньше объёмов каждой из крайней частей. Расстояния от точек A и B до плоскости альфа равны 5 и 10 соответственно. Расстояния от точек A и C до плоскости бета равны 10 и 8 соответственно. Найти отношение площадей сечений тетраэдра плоскостями альфа и бета, если известно, что одно из этих сечений - трапеция, а расстояние от точки D до плоскости альфа меньше 12.

Отбросив множество вариантов расположения точек, пришёл в итоге к двум (см. рис). При этом после применения теоремы Фалеса ни один из вариантов не сводится к числу.

Может, у кого-нибудь есть мысли на этот счёт?

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 13 мар 2015, 17:26 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 21:28
Сообщений: 2695
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
841 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
VPamerantsev
Известен ли ответ к этой задаче?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 13 мар 2015, 17:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 мар 2015, 09:42
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ответ 134/129.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 14 мар 2015, 09:55 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Примеры "гробовых" задач из статьи Шеня

Изображение
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 14 мар 2015, 11:48 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
VPamerantsev писал(а):
Расстояния от точек A и B до плоскости альфа равны 5 и 10 соответственно

На рисунке расстояние от A до альфа равно 15. Чему верить?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 14 мар 2015, 16:03 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei писал(а):
Примеры "гробовых" задач из статьи Шеня
Изображение
Изображение

Вторая задача «Восстановить стертые на графике [math]y ={x^2}[/math] оси координат, пользуясь циркулем и линейкой» не такая уж «гробовая»:
На параболе произвольно выберем точки A и B и параллельно |AB| проведём прямую, пересекающую параболу в точках A1 и B1.
Прямая, проходящая через середины отрезков |AB| и |A1B1| будет параллельна оси симметрии параболы.
Перпендикуляр к ней, проведённый, допустим, из точки A, пересечёт другую ветку параболы в точке C.
Срединный перпендикуляр к отрезку |AC| - это ось симметрии параболы, то есть ось Y.
Единственная точка пересечения срединного перпендикуляра с параболой даст начало координат.
Ось X проведём через начало координат перпендикулярно Y.

Сложнее будет, если осталась только часть ветки параболы…

От меня задачка полегче: Пользуясь только линейкой, провести из заданной точки касательные к графику параболы (точка лежит снаружи параболы).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 15 мар 2015, 13:40 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 дек 2013, 14:03
Сообщений: 827
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 131
Спасибо получено:
317 раз в 255 сообщениях
Очков репутации: 98

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
VPamerantsev писал(а):
Добрый день, коллеги.

Задался целью решить "гробовую" задачу №6 со вступительного экзамена на Мехмат 2000 года (вариант майской "олимпиады"). Формулировка (доступна на сайте приёмной комиссии) следующая:

Параллельные плоскости альфа и бета делят тетраэдр ABCD на три части так, что объём средней части меньше объёмов каждой из крайней частей. Расстояния от точек A и B до плоскости альфа равны 5 и 10 соответственно. Расстояния от точек A и C до плоскости бета равны 10 и 8 соответственно. Найти отношение площадей сечений тетраэдра плоскостями альфа и бета, если известно, что одно из этих сечений - трапеция, а расстояние от точки D до плоскости альфа меньше 12.

Отбросив множество вариантов расположения точек, пришёл в итоге к двум (см. рис). При этом после применения теоремы Фалеса ни один из вариантов не сводится к числу.

Может, у кого-нибудь есть мысли на этот счёт?

Изображение


Немножко поправить надо условие в соответствии с рисунком, я думаю (как правильно заметил Li6-D) и убрать второй рисунок, как неподходящий по условию из-за объёмов кусков...


sin(a)=корень из двух/корень из трёх, cos(a)=1/корень из трёх, AB=BC=AC корней из трёх пополам - из свойств тетраэдра.
AC=(10-8)/sin(c)=2/sin(c),
AB=(15+10)/sin(b)=25/sin(b)
sin(b)=25sin(c)/корень из трёх=sin(a)cos(c)+cos(a)sin(c)
Итого, квадратное уравнение относительно sin(c). Словом, много всякой неприятной "бухгалтэрии", но ничего принципиально сложного, вроде, нет...
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 16 мар 2015, 08:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 мар 2015, 09:42
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Верить рисунку. Расстояние от А до альфа = 15.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 16 мар 2015, 08:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 мар 2015, 09:42
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А как оценить объёмы, чтобы отбросить второй рисунок?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 17 мар 2015, 08:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 мар 2015, 09:42
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Dotsent писал(а):
VPamerantsev писал(а):
Добрый день, коллеги.

Немножко поправить надо условие в соответствии с рисунком, я думаю (как правильно заметил Li6-D) и убрать второй рисунок, как неподходящий по условию из-за объёмов кусков...


sin(a)=корень из двух/корень из трёх, cos(a)=1/корень из трёх, AB=BC=AC корней из трёх пополам - из свойств тетраэдра.
AC=(10-8)/sin(c)=2/sin(c),
AB=(15+10)/sin(b)=25/sin(b)
sin(b)=25sin(c)/корень из трёх=sin(a)cos(c)+cos(a)sin(c)
Итого, квадратное уравнение относительно sin(c). Словом, много всякой неприятной "бухгалтэрии", но ничего принципиально сложного, вроде, нет...
Изображение


А откуда мысли о том, что углы здесь заданы однозначно, и условий задачи достаточно, чтобы их вычислить? Нигде не сказано, что тетраэдр "правильный" или ещё какой-нибудь "хороший".

Также не понятно, почему необходимо отбросить нижний рисунок из-за не выполнения условия на объёмы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 21 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Математика за два года и мехмат МГУ

в форуме Размышления по поводу и без

korytko

11

959

05 окт 2017, 13:09

Олимпиадная задача 7 класс, 2000 год

в форуме Школьная физика

AN79

1

103

08 сен 2023, 18:40

На Марсе 2000 стран (Городская Олимпиада, 8 класс, 1997 год)

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

3

479

11 сен 2017, 14:58

Тетраэдр

в форуме Геометрия

maksim-maksim

3

255

25 окт 2017, 15:18

Тетраэдр (проверка)

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

kontik2020

1

279

24 фев 2020, 21:15

Произвольный тетраэдр

в форуме Геометрия

Kunitcin

6

288

31 авг 2022, 17:47

Тетраэдр построенный на векторах

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Windiv

1

149

20 ноя 2020, 10:06

Алмаз -тетраэдр или октаэдр?

в форуме Молекулярная физика и Термодинамика

Jefferson

0

633

28 окт 2014, 14:40

Доказать, что правильная пирамида - тетраэдр

в форуме Геометрия

hpbhpb

7

701

05 окт 2015, 20:28

Тетраэдр;уравнение касательной;(х;у;z) симметричной вершины

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

kontik2020

0

147

02 фев 2020, 18:05


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved