Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 3 |
[ Сообщений: 21 ] | На страницу 1, 2, 3 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
VPamerantsev |
|
|
Задался целью решить "гробовую" задачу №6 со вступительного экзамена на Мехмат 2000 года (вариант майской "олимпиады"). Формулировка (доступна на сайте приёмной комиссии) следующая: Параллельные плоскости альфа и бета делят тетраэдр ABCD на три части так, что объём средней части меньше объёмов каждой из крайней частей. Расстояния от точек A и B до плоскости альфа равны 5 и 10 соответственно. Расстояния от точек A и C до плоскости бета равны 10 и 8 соответственно. Найти отношение площадей сечений тетраэдра плоскостями альфа и бета, если известно, что одно из этих сечений - трапеция, а расстояние от точки D до плоскости альфа меньше 12. Отбросив множество вариантов расположения точек, пришёл в итоге к двум (см. рис). При этом после применения теоремы Фалеса ни один из вариантов не сводится к числу. Может, у кого-нибудь есть мысли на этот счёт? |
||
Вернуться к началу | ||
Anatole |
|
|
VPamerantsev
Известен ли ответ к этой задаче? |
||
Вернуться к началу | ||
VPamerantsev |
|
|
Ответ 134/129.
|
||
Вернуться к началу | ||
andrei |
|
|
Примеры "гробовых" задач из статьи Шеня
|
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
VPamerantsev писал(а): Расстояния от точек A и B до плоскости альфа равны 5 и 10 соответственно На рисунке расстояние от A до альфа равно 15. Чему верить? |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
andrei писал(а): Примеры "гробовых" задач из статьи Шеня Вторая задача «Восстановить стертые на графике [math]y ={x^2}[/math] оси координат, пользуясь циркулем и линейкой» не такая уж «гробовая»: На параболе произвольно выберем точки A и B и параллельно |AB| проведём прямую, пересекающую параболу в точках A1 и B1. Прямая, проходящая через середины отрезков |AB| и |A1B1| будет параллельна оси симметрии параболы. Перпендикуляр к ней, проведённый, допустим, из точки A, пересечёт другую ветку параболы в точке C. Срединный перпендикуляр к отрезку |AC| - это ось симметрии параболы, то есть ось Y. Единственная точка пересечения срединного перпендикуляра с параболой даст начало координат. Ось X проведём через начало координат перпендикулярно Y. Сложнее будет, если осталась только часть ветки параболы… От меня задачка полегче: Пользуясь только линейкой, провести из заданной точки касательные к графику параболы (точка лежит снаружи параболы). |
||
Вернуться к началу | ||
Dotsent |
|
|
VPamerantsev писал(а): Добрый день, коллеги. Задался целью решить "гробовую" задачу №6 со вступительного экзамена на Мехмат 2000 года (вариант майской "олимпиады"). Формулировка (доступна на сайте приёмной комиссии) следующая: Параллельные плоскости альфа и бета делят тетраэдр ABCD на три части так, что объём средней части меньше объёмов каждой из крайней частей. Расстояния от точек A и B до плоскости альфа равны 5 и 10 соответственно. Расстояния от точек A и C до плоскости бета равны 10 и 8 соответственно. Найти отношение площадей сечений тетраэдра плоскостями альфа и бета, если известно, что одно из этих сечений - трапеция, а расстояние от точки D до плоскости альфа меньше 12. Отбросив множество вариантов расположения точек, пришёл в итоге к двум (см. рис). При этом после применения теоремы Фалеса ни один из вариантов не сводится к числу. Может, у кого-нибудь есть мысли на этот счёт? Немножко поправить надо условие в соответствии с рисунком, я думаю (как правильно заметил Li6-D) и убрать второй рисунок, как неподходящий по условию из-за объёмов кусков... sin(a)=корень из двух/корень из трёх, cos(a)=1/корень из трёх, AB=BC=AC корней из трёх пополам - из свойств тетраэдра. AC=(10-8)/sin(c)=2/sin(c), AB=(15+10)/sin(b)=25/sin(b) sin(b)=25sin(c)/корень из трёх=sin(a)cos(c)+cos(a)sin(c) Итого, квадратное уравнение относительно sin(c). Словом, много всякой неприятной "бухгалтэрии", но ничего принципиально сложного, вроде, нет... |
||
Вернуться к началу | ||
VPamerantsev |
|
|
Верить рисунку. Расстояние от А до альфа = 15.
|
||
Вернуться к началу | ||
VPamerantsev |
|
|
А как оценить объёмы, чтобы отбросить второй рисунок?
|
||
Вернуться к началу | ||
VPamerantsev |
|
|
Dotsent писал(а): VPamerantsev писал(а): Добрый день, коллеги. Немножко поправить надо условие в соответствии с рисунком, я думаю (как правильно заметил Li6-D) и убрать второй рисунок, как неподходящий по условию из-за объёмов кусков... sin(a)=корень из двух/корень из трёх, cos(a)=1/корень из трёх, AB=BC=AC корней из трёх пополам - из свойств тетраэдра. AC=(10-8)/sin(c)=2/sin(c), AB=(15+10)/sin(b)=25/sin(b) sin(b)=25sin(c)/корень из трёх=sin(a)cos(c)+cos(a)sin(c) Итого, квадратное уравнение относительно sin(c). Словом, много всякой неприятной "бухгалтэрии", но ничего принципиально сложного, вроде, нет... А откуда мысли о том, что углы здесь заданы однозначно, и условий задачи достаточно, чтобы их вычислить? Нигде не сказано, что тетраэдр "правильный" или ещё какой-нибудь "хороший". Также не понятно, почему необходимо отбросить нижний рисунок из-за не выполнения условия на объёмы. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3 След. | [ Сообщений: 21 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Математика за два года и мехмат МГУ
в форуме Размышления по поводу и без |
11 |
959 |
05 окт 2017, 13:09 |
|
Олимпиадная задача 7 класс, 2000 год
в форуме Школьная физика |
1 |
103 |
08 сен 2023, 18:40 |
|
На Марсе 2000 стран (Городская Олимпиада, 8 класс, 1997 год) | 3 |
479 |
11 сен 2017, 14:58 |
|
Тетраэдр
в форуме Геометрия |
3 |
255 |
25 окт 2017, 15:18 |
|
Тетраэдр (проверка) | 1 |
279 |
24 фев 2020, 21:15 |
|
Произвольный тетраэдр
в форуме Геометрия |
6 |
288 |
31 авг 2022, 17:47 |
|
Тетраэдр построенный на векторах
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
149 |
20 ноя 2020, 10:06 |
|
Алмаз -тетраэдр или октаэдр?
в форуме Молекулярная физика и Термодинамика |
0 |
633 |
28 окт 2014, 14:40 |
|
Доказать, что правильная пирамида - тетраэдр
в форуме Геометрия |
7 |
701 |
05 окт 2015, 20:28 |
|
Тетраэдр;уравнение касательной;(х;у;z) симметричной вершины | 0 |
147 |
02 фев 2020, 18:05 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |