Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 13 мар 2015, 11:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 мар 2015, 10:42
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день, коллеги.

Задался целью решить "гробовую" задачу №6 со вступительного экзамена на Мехмат 2000 года (вариант майской "олимпиады"). Формулировка (доступна на сайте приёмной комиссии) следующая:

Параллельные плоскости альфа и бета делят тетраэдр ABCD на три части так, что объём средней части меньше объёмов каждой из крайней частей. Расстояния от точек A и B до плоскости альфа равны 5 и 10 соответственно. Расстояния от точек A и C до плоскости бета равны 10 и 8 соответственно. Найти отношение площадей сечений тетраэдра плоскостями альфа и бета, если известно, что одно из этих сечений - трапеция, а расстояние от точки D до плоскости альфа меньше 12.

Отбросив множество вариантов расположения точек, пришёл в итоге к двум (см. рис). При этом после применения теоремы Фалеса ни один из вариантов не сводится к числу.

Может, у кого-нибудь есть мысли на этот счёт?

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 13 мар 2015, 18:26 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 22:28
Сообщений: 2673
Cпасибо сказано: 232
Спасибо получено:
839 раз в 773 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
VPamerantsev
Известен ли ответ к этой задаче?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 13 мар 2015, 18:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 мар 2015, 10:42
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ответ 134/129.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 14 мар 2015, 10:55 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 11:27
Сообщений: 7862
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7054 раз в 5486 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Примеры "гробовых" задач из статьи Шеня

Изображение
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 14 мар 2015, 12:48 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 573
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
295 раз в 243 сообщениях
Очков репутации: 63

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
VPamerantsev писал(а):
Расстояния от точек A и B до плоскости альфа равны 5 и 10 соответственно

На рисунке расстояние от A до альфа равно 15. Чему верить?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 14 мар 2015, 17:03 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 573
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
295 раз в 243 сообщениях
Очков репутации: 63

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei писал(а):
Примеры "гробовых" задач из статьи Шеня
Изображение
Изображение

Вторая задача «Восстановить стертые на графике [math]y ={x^2}[/math] оси координат, пользуясь циркулем и линейкой» не такая уж «гробовая»:
На параболе произвольно выберем точки A и B и параллельно |AB| проведём прямую, пересекающую параболу в точках A1 и B1.
Прямая, проходящая через середины отрезков |AB| и |A1B1| будет параллельна оси симметрии параболы.
Перпендикуляр к ней, проведённый, допустим, из точки A, пересечёт другую ветку параболы в точке C.
Срединный перпендикуляр к отрезку |AC| - это ось симметрии параболы, то есть ось Y.
Единственная точка пересечения срединного перпендикуляра с параболой даст начало координат.
Ось X проведём через начало координат перпендикулярно Y.

Сложнее будет, если осталась только часть ветки параболы…

От меня задачка полегче: Пользуясь только линейкой, провести из заданной точки касательные к графику параболы (точка лежит снаружи параболы).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 15 мар 2015, 14:40 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 дек 2013, 15:03
Сообщений: 711
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
279 раз в 228 сообщениях
Очков репутации: 96

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
VPamerantsev писал(а):
Добрый день, коллеги.

Задался целью решить "гробовую" задачу №6 со вступительного экзамена на Мехмат 2000 года (вариант майской "олимпиады"). Формулировка (доступна на сайте приёмной комиссии) следующая:

Параллельные плоскости альфа и бета делят тетраэдр ABCD на три части так, что объём средней части меньше объёмов каждой из крайней частей. Расстояния от точек A и B до плоскости альфа равны 5 и 10 соответственно. Расстояния от точек A и C до плоскости бета равны 10 и 8 соответственно. Найти отношение площадей сечений тетраэдра плоскостями альфа и бета, если известно, что одно из этих сечений - трапеция, а расстояние от точки D до плоскости альфа меньше 12.

Отбросив множество вариантов расположения точек, пришёл в итоге к двум (см. рис). При этом после применения теоремы Фалеса ни один из вариантов не сводится к числу.

Может, у кого-нибудь есть мысли на этот счёт?

Изображение


Немножко поправить надо условие в соответствии с рисунком, я думаю (как правильно заметил Li6-D) и убрать второй рисунок, как неподходящий по условию из-за объёмов кусков...


sin(a)=корень из двух/корень из трёх, cos(a)=1/корень из трёх, AB=BC=AC корней из трёх пополам - из свойств тетраэдра.
AC=(10-8)/sin(c)=2/sin(c),
AB=(15+10)/sin(b)=25/sin(b)
sin(b)=25sin(c)/корень из трёх=sin(a)cos(c)+cos(a)sin(c)
Итого, квадратное уравнение относительно sin(c). Словом, много всякой неприятной "бухгалтэрии", но ничего принципиально сложного, вроде, нет...
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 16 мар 2015, 09:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 мар 2015, 10:42
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Верить рисунку. Расстояние от А до альфа = 15.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 16 мар 2015, 09:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 мар 2015, 10:42
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А как оценить объёмы, чтобы отбросить второй рисунок?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тетраэдр (Мехмат, май 2000)
СообщениеДобавлено: 17 мар 2015, 09:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 мар 2015, 10:42
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Dotsent писал(а):
VPamerantsev писал(а):
Добрый день, коллеги.

Немножко поправить надо условие в соответствии с рисунком, я думаю (как правильно заметил Li6-D) и убрать второй рисунок, как неподходящий по условию из-за объёмов кусков...


sin(a)=корень из двух/корень из трёх, cos(a)=1/корень из трёх, AB=BC=AC корней из трёх пополам - из свойств тетраэдра.
AC=(10-8)/sin(c)=2/sin(c),
AB=(15+10)/sin(b)=25/sin(b)
sin(b)=25sin(c)/корень из трёх=sin(a)cos(c)+cos(a)sin(c)
Итого, квадратное уравнение относительно sin(c). Словом, много всякой неприятной "бухгалтэрии", но ничего принципиально сложного, вроде, нет...
Изображение


А откуда мысли о том, что углы здесь заданы однозначно, и условий задачи достаточно, чтобы их вычислить? Нигде не сказано, что тетраэдр "правильный" или ещё какой-нибудь "хороший".

Также не понятно, почему необходимо отбросить нижний рисунок из-за не выполнения условия на объёмы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Математика за два года и мехмат МГУ

в форуме Размышления по поводу и без

korytko

11

412

05 окт 2017, 14:09

На Марсе 2000 стран (Городская Олимпиада, 8 класс, 1997 год)

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

3

215

11 сен 2017, 15:58

Тетраэдр

в форуме Геометрия

maksim-maksim

3

103

25 окт 2017, 16:18

Тетраэдр

в форуме Геометрия

Regina07

3

1097

10 дек 2013, 20:56

Алмаз -тетраэдр или октаэдр?

в форуме Молекулярная физика и Термодинамика

Jefferson

0

375

28 окт 2014, 15:40

Смешанное произведение. Тетраэдр

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

bumbarash

1

365

11 ноя 2012, 20:09

Доказать, что правильная пирамида - тетраэдр

в форуме Геометрия

hpbhpb

7

354

05 окт 2015, 21:28

Написать уравнение сферы, вписанной в тетраэдр

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Alaskayang

1

168

15 июн 2017, 08:16

Если надкусить тетраэдр сверху и сбоку

в форуме Геометрия

Xenia1996

7

385

09 ноя 2012, 23:27


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved