Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти углы треугольника
СообщениеДобавлено: 15 мар 2014, 23:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 сен 2013, 22:28
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В процессе решения геометрической задачи пришел к такой системе:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& \sin{(a+b)}-2\sin{(3a+b)}=0 \\& \sin{(2a+b)}-3\sin{b}=0 \end{aligned}\right.[/math]
В задаче необходимо найти углы a и b. Подскажите пожалуйста, решабельна ли данная система и как? Или я пошел совсем не по тому пути?
Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система тригонометрических уравнений
СообщениеДобавлено: 15 мар 2014, 23:15 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18470
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11132
Спасибо получено:
5043 раз в 4556 сообщениях
Очков репутации: 682

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А какие точно были условия в задаче?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система тригонометрических уравнений
СообщениеДобавлено: 15 мар 2014, 23:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 сен 2013, 22:28
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
А какие точно были условия в задаче?

Вот полное условие задачи:
В треугольнике АВС точка D лежит на стороне АС, а точка Е - на отрезке AD. Известно, что углы АВЕ,DBE и CBD равны, а длина отрезка DE вдвое меньше длины отрезка АЕ и втрое меньше длины отрезка CD. Найти углы АВЕ и АСВ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система тригонометрических уравнений
СообщениеДобавлено: 16 мар 2014, 00:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10105
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3088 раз в 2691 сообщениях
Очков репутации: 619

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если система записана верно, то решений очень много:
1) a и b кратны [math]\pi[/math]

2) [math]a=\pi n\pm 2\operatorname{arctg}(1\pm\sqrt{2})[/math]

[math]b=\pi n\pm 2\operatorname{arctg}(3\pm\sqrt{10})[/math]

(знаки могут быть в самых разных сочетаниях)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система тригонометрических уравнений
СообщениеДобавлено: 16 мар 2014, 00:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 сен 2013, 22:28
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Если система записана верно, то решений очень много:
1) a и b кратны [math]\pi[/math]

2) [math]a=\pi n\pm 2\operatorname{arctg}(1\pm\sqrt{2})[/math]

[math]b=\pi n\pm 2\operatorname{arctg}(3\pm\sqrt{10})[/math]

(знаки могут быть в самых разных сочетаниях)

А как Вы нашли последние два корня?
Углы а и в - углы треугольника, что само по себе исключает целый ряд решений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система тригонометрических уравнений
СообщениеДобавлено: 16 мар 2014, 02:29 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 15:27
Сообщений: 1930
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 369
Спасибо получено:
1051 раз в 840 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Обозначим угол АВЕ за альфа.
ВЕ - биссектриса треугольника АВD. По свойству биссектрисы, которая делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, АВ в 2 раза больше ВD.
Продлим сторону ВD за точку D и отложим DK=BD. Так как D - середина АС, и D - середина ВК, то АВСК - параллелограмм. Отмечайте равные углы. Угол ВКА = альфа.
Но, в то же время, треугольник АВК - равнобедренный, т.к. АВ=ВК(=2*ВD). Значит, углы при основании равны и равны альфа, а угол при вершине равен 2 альфа. Отсюда альфа = 45.
Второй искомый угол можно найти, например, с использованием теорем синусов и косинусов.


Последний раз редактировалось radix 16 мар 2014, 03:11, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Система тригонометрических уравнений
СообщениеДобавлено: 16 мар 2014, 03:09 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10105
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3088 раз в 2691 сообщениях
Очков репутации: 619

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
maked0n, я решал методом подбора. У меня есть специальная прога (сам составил, она довольно мудреная). Не все решения проверял вручную.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система тригонометрических уравнений
СообщениеДобавлено: 16 мар 2014, 12:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 ноя 2013, 17:06
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
BD- медиана. Соответственно она делит треугольник на два равновеликих треугольника. Находим площади треугольников по сторонам AB BD и BC BD и углом между ними. Так как одна сторона общая то отношение между сторонами будет соответствовать отношению между синусами углов полученных треугольников. Площадь треугольников модно найти и через другие стороны AD BD и DC BD так как площадь треугольников равны и стороны этих треугольников равны и площадь треугольников равна то и углы должны быть равны. А это буде только если углы равны 90 градусов. Соответственно площадь треугольников можно найти через стороны AB AD CB DC. Зная соотношения сторон AB СВ можно найти и соотношения синусов. Тогда углы будут равны
[math]\alpha=\frac{180-90}{3}=30[/math]
[math]2\alpha=60[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю timots "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Найти углы треугольника
СообщениеДобавлено: 16 мар 2014, 17:36 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 15:27
Сообщений: 1930
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 369
Спасибо получено:
1051 раз в 840 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
timots писал(а):
Площадь треугольников модно найти и через другие стороны AD BD и DC BD так как площадь треугольников равны и стороны этих треугольников равны и площадь треугольников равна то и углы должны быть равны. А это буде только если углы равны 90 градусов.

Не обязательно по 90. Синусы любых смежных углов равны:
[math]\sin{(180- \varphi) }=\sin{ \varphi }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Найти углы треугольника
СообщениеДобавлено: 16 мар 2014, 17:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 ноя 2013, 17:06
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Конечно нужно было написать,- в этом случаи. Так как углы смежные, а площади треугольников Sabd=Sdbc равны и две стороны равны. AD=DC а BD- общая

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти углы треугольника

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

nadezhda8369

5

292

19 апр 2014, 17:09

Найти углы треугольника

в форуме Геометрия

illya K

7

638

31 авг 2013, 23:07

Найти углы треугольника

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

sfanter

1

86

22 ноя 2015, 15:51

Найти углы треугольника

в форуме Геометрия

sfanter

6

188

08 апр 2015, 15:56

Найти внутренние углы треугольника

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

arh42kem

3

707

27 окт 2014, 10:22

Задача 8 кл. Найти углы треугольника

в форуме Геометрия

nata_leb

2

468

02 апр 2013, 17:44

Найти углы треугольника образованного прямыми

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

lanuska_mur

2

125

25 июн 2015, 13:54

Теорема синусов. Найти остальные углы треугольника

в форуме Геометрия

Qpool

1

269

06 дек 2012, 02:10

Углы треугольника

в форуме Геометрия

sfanter

1

197

26 июн 2014, 19:30

Внутренние углы треугольника

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Arisha1990

1

284

07 май 2014, 23:42


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Andy, Yandex [bot] и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved