Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти отношение площадей треугольника
СообщениеДобавлено: 10 май 2013, 13:08 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
30 янв 2013, 14:15
Сообщений: 401
Cпасибо сказано: 88
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста решить задачу!
В треугольнике ABC выполняется соотношение AB:AC:BC=3:5:4 биссектрисы BL и AK пересекаются в точке O. Найдите отношение площадей треугольников BOK и AOL.
А треугольник ведь прямоугольный получается?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти отношение площадей треугольника
СообщениеДобавлено: 10 май 2013, 18:32 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для этой задачи важно знать:

1) биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки пропорционально двум другим сторонам треугольника.
2) Точка пересечения биссектрис - это центр вписанной окружности.

Из 1) имеем: [math]\frac{BK}{3}=\frac{KC}{5}[/math]

Кроме того, ясно, что [math]BK+KC=4[/math]

Решая систему, находим одну из нужных сторон [math]BK=\frac 32[/math]

Точно так же: [math]\frac{AL}{3}=\frac{LC}{4}[/math]

[math]AL+LC=5[/math]

Находим [math]AL=\frac {15}{7}[/math]

Из 2) получаем, что [math]OK=OL=r[/math]

Радиус вписанной окружности вычисляется с использованием формулы Герона (формула известная, длинная, приводить не буду). Получил [math]r=1[/math]

То есть [math]OK=OL=1[/math]

Еще две нужные стороны нашли.

Осталось найти последние 2 стороны. Их найдем по формулам для длины биссектрисы. Они известны, приведу результаты:

[math]BL=\frac{12\sqrt{2}}{7}\, ; \quad AK=\frac{3\sqrt{5}}{2}[/math]

Теперь легко записать все стороны нужных треугольников:

AOL

[math]AL=\frac{15}{2}\, ; \quad OL=1 \, ; \quad AO=\frac{3\sqrt{5}}{2}-1[/math]

BOK

[math]OK=1\, ; \quad BK=\frac 32 \, ; \quad BO=\frac{12\sqrt{2}}{7}-1[/math]

Осталось Вам по формуле Герона найти площади этих треугольников и ответить на вопрос задачи.

Изображение

У меня площадь треугольника BOK равна 0.68505
Площадь треугольника AOL равна 1.07136

Отношение площадей = 0.63942

Но делал наспех, нужно проверять.


Последний раз редактировалось Avgust 10 май 2013, 18:54, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти отношение площадей треугольника
СообщениеДобавлено: 10 май 2013, 18:42 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
30 янв 2013, 14:15
Сообщений: 401
Cпасибо сказано: 88
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
Спасибо! Сейчас попробую посчитать. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти отношение площадей треугольника
СообщениеДобавлено: 10 май 2013, 18:55 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
30 янв 2013, 14:15
Сообщений: 401
Cпасибо сказано: 88
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
Площадь треугольника AOL отрицательной под корнем получается. :( Может я неправильно считаю. Если Вам не трудно посчитайте, пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти отношение площадей треугольника
СообщениеДобавлено: 10 май 2013, 19:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ой, пардон! Я ошибся вот в чем. Радиус вписанной окружности действительно r=1 и центр ее в точке O. Но OL и OK не равны r. Тут нужно думать, как найти....

Считаете неправильно, конечно. Но вот меня нужно как-то поправить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти отношение площадей треугольника
СообщениеДобавлено: 10 май 2013, 19:27 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение


Ой! Все забудьте! Посмотрите на последний рисунок:

[math]S_{BOK}=\frac 12 \cdot \frac 32 \cdot 1=\frac 34[/math]

[math]S_{AOL}=\frac 12 \cdot \frac{15}{7}\cdot 1=\frac{15}{14}[/math]

Тогда отношение площадей - ровно 0.7

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти отношение площадей треугольника
СообщениеДобавлено: 10 май 2013, 20:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти отношение площадей треугольника
СообщениеДобавлено: 11 май 2013, 09:26 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
30 янв 2013, 14:15
Сообщений: 401
Cпасибо сказано: 88
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
Вы так увлеклись этой задачей. Спасибо Вам огромное за помощь! :Rose:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти отношение площадей треугольника и четырёхугольника

в форуме Геометрия

dasha math

1

1036

16 апр 2014, 22:04

Найти отношение площадей сечений усечённой пирамиды

в форуме Геометрия

nkshgm

11

149

22 май 2023, 12:02

Отношение площадей

в форуме Геометрия

sfanter

0

356

13 окт 2014, 10:37

Задача на отношение площадей

в форуме Геометрия

Flutt1

1

459

26 окт 2017, 23:48

Отношение площадей сечений правильной шестиугольной призмы

в форуме Геометрия

lvbealr

4

314

25 апр 2023, 21:47

Отношение сторон треугольника

в форуме Геометрия

vlad-optim

1

270

20 янв 2016, 13:05

Отношение сторон треугольника

в форуме Геометрия

vlad-optim

1

284

30 янв 2016, 13:25

Найти разницу площадей двух треугольников

в форуме Геометрия

ferma-T

8

266

14 окт 2021, 07:17

Доказать, что бинарное отношение - отношение эквивалентности

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

indiana_johns

8

317

25 ноя 2021, 07:06

Отношение принадлежности - это унарное отношение?

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Vasily2023

3

402

02 апр 2023, 07:52


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved