Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 4 |
[ Сообщений: 31 ] | На страницу 1, 2, 3, 4 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Avgust |
|
|
В трапеции известны основания [math]a[/math] и [math]b[/math], а также диагонали [math]d_1[/math] и [math]d_2[/math]. Нужно найти боковые стороны. Выкладки произвел при помощи Maple. Конечный результат такой: restart; c := sqrt((a*(-b^2+d2^2)+b*(-a^2+d1^2))/(a+b)); d := sqrt((a*(-b^2+d1^2)+b*(-a^2+d2^2))/(a+b)); a := 41.231; b := 67.91; d1 := 60; d2 := 90; c; d; Тут показаны и формулы и пример расчета. Для наглядности сделал рисунок. Меня покорила красота этих формул! Листал рисунки в Яндексе и Гугле по ключевым словам "трапеция геометрия" - нигде ничего подобного не нашел. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: bimol |
||
Xmas |
|
|
Где ж рисунок?
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Xmas! Буду признателен, если проверите при разных исходных числах.
Рисунок и формулы (чтобы не листать посты): |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: bimol |
||
Race |
|
|
Вроде это известные общеизвестные формулы
Если в трапеции ABCD принять точку пересечений диагоналей за О, то через подобие треугольников элементарно найти, отрезки на которые она разбивает диагонали, имеем: [math]OC=\frac{ d_{1} }{ 1+k }[/math] [math]AO=k\frac{ d_{1} }{ 1+k }[/math] [math]DO=\frac{ d_{2} }{ 1+k }[/math] [math]OB=k\frac{ d_{2} }{ 1+k }[/math] где [math]k=\frac{ b }{ a }[/math] Так же, легко вычисляется косинус AOB: [math]cosAOB=\frac{ d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-a^{2} (1+k)^{2} }{ 2d_{1}d_{2} }[/math] Соответственно: [math]cosAOD=cos(180-AOB)=-cosAOB=\frac{ a^{2} (1+k)^{2}- d_{1}^{2}-d_{2}^{2} }{ 2d_{1}d_{2} }[/math] Тогда по теореме косинусов получаем: [math]AD=c=\sqrt{d_{1}^{2}(k+1)-a^{2} }[/math] По возможности перепроверю. |
||
Вернуться к началу | ||
Race |
|
|
Пересчитал, правильно будет так:
[math]c=DA=\sqrt{\frac{ kd_{1}^{2}+d_{2}^{2}-a^{2}(1+k) }{ 1+k } }[/math] Думаю, что если вместо [math]k[/math] подставить [math]\frac{ b }{ a }[/math], то получим Вашу формулу. Где то я подобное точно видел. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Race. проверил численно Вашу последнюю формулу - что-то она не бьет...
Сопоставил с численным своим решением (оно правильное, обведено красной рамкой). У Вас почему-то почти точно на 10 больше. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: Race |
||
Race |
|
|
Avgust,
проверил, действительно не бьется с геометрическим построением, ошибку смог найти только когда уже все забил через формулы форума, опустил кое-нт [math]k[/math] перед последним членом числителя), правильно будет так : Дано [math]ABCD[/math] трапеция, [math]AB=b, CD=a; (b>a)[/math] основания, [math]AC=d_{1}; BD=d_{2}[/math] – диагонали трапеции. Определить боковые стороны: [math]DA=c; BC=d[/math] 1. [math]\triangle AOB \sim \triangle DCO \Rightarrow \frac{ AO }{OC }=\frac{ BO }{OD }=\frac{ b }{ a }=k \Rightarrow OC=\frac{ d_{1} }{ 1+k }; AO=\frac{ kd_{1} }{ 1+k }; OD=\frac{ d_{2} }{ 1+k }; BO=\frac{ kd_{2} }{ 1+k }[/math] 2. По теореме косинусов находим косинус угла [math]\angle DOC[/math]: [math]cos \angle DOC=\frac{DO^{2}+OC^{2}-a^{2} }{ 2DO \cdot OC }=\frac{ d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-a^{2}(1+k)^{2 } }{ 2d_{1}d_{2} }[/math] 3. Согласно формулам приведения получим значение косинуса [math]\angle DOA[/math]: [math]cos \angle DOA= cos(180- \angle DOC)=- cos \angle DOC=\frac{ a^{2}(1+k)^{2 } -d_{1}^{2}-d_{2}^{2} }{ 2d_{1}d_{2} }[/math] 4. По теореме косинусов определим [math]DA=c[/math] [math]c^{2}=DA^{2}=DO^{2}+AO^{2}-2DO \cdot AO cos \angle DOA = \frac{ d_{2}^{2} }{ (1+k)^{2} }+\frac{ k^{2} \cdot d_{1}^{2} }{ (1+k)^{2} }-\frac{ 2k \cdot d_{1} \cdot d_{2} }{ (1+k)^{2} } \cdot \frac{ a^{2}(1+k)^{2 } -d_{1}^{2}-d_{2}^{2} }{ 2d_{1}d_{2} }=[/math] [math]=\frac{ d_{2}^{2}(1+k)+k \cdot d_{1}^{2}(1+k)-k \cdot a^{2}(1+k)^{2} }{ (1+k)^{2} }=\frac{ k \cdot d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-k \cdot a^{2} (1+k) }{ 1+k }[/math] Соответственно: [math]c=AD=\sqrt{\frac{ k \cdot d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-k \cdot a^{2} (1+k) }{ 1+k } }[/math] [math]d=BC=\sqrt{\frac{ d_{1}^{2}+k \cdot d_{2}^{2}-k \cdot a^{2} (1+k) }{ 1+k } }[/math] Проверил, бьется с геометрическим построением. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали: Avgust |
||
Race |
|
|
Avgust,
Хм, судя по всему, мои формулы имеют другой вид, даже если подставить значение оснований. Если Вас не затруднит, не могли бы вы подсказать по какому пути Вы следовали, при выведении своих симметричных и таких красивых формул? |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Сейчас проверю Ваши формулы.
Я шел двумя путями: 1) находил координаты всех вершин и затем - длины оснований; 2) известные формулы для диагоналей трапеции [math]d_1=AC=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}[/math] [math]d_2=BD=\sqrt{ab+c^2-\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}[/math] ( https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1 ... 0%B8%D1%8F ) вывернул и в явном виде выразил боковые стороны. Результаты совпали. |
||
Вернуться к началу | ||
Race |
|
|
Avgust писал(а): Сейчас проверю Ваши формулы. Я шел двумя путями: 1) находил координаты всех вершин и затем - длины оснований; 2) известные формулы для диагоналей трапеции [math]d_1=AC=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}[/math] [math]d_2=BD=\sqrt{ab+c^2-\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}[/math] ( https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1 ... 0%B8%D1%8F ) вывернул и в явном виде выразил боковые стороны. Результаты совпали. На мой взгляд Ваши формулы красивее, так как они симметричны. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3, 4 След. | [ Сообщений: 31 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Найти длину отрезка соединяющего боковые стороны трапеции
в форуме Геометрия |
3 |
700 |
12 май 2014, 21:12 |
|
Нашёл корни, но не все
в форуме Алгебра |
8 |
263 |
25 ноя 2019, 14:30 |
|
Правильно нашел интеграл?
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
247 |
20 май 2017, 18:34 |
|
Правильно ли я нашел область интегрирования
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
107 |
20 апр 2020, 20:01 |
|
В учебнике нашел задачу и не получается ее решить
в форуме Теория вероятностей |
1 |
253 |
28 авг 2017, 18:28 |
|
Я нашел магический квадрат 3 на 3, где все числа - квадраты
в форуме Размышления по поводу и без |
2 |
465 |
03 янв 2019, 16:22 |
|
Длину CH из точки до плоскости нашел, а как найти точку H? | 2 |
238 |
25 июн 2018, 23:27 |
|
Нашел интересный способ описания больших чисел
в форуме Размышления по поводу и без |
3 |
371 |
24 апр 2015, 17:52 |
|
О чем гласит теорема Кулона? Я нашёл только закон Кулона
в форуме Электричество и Магнетизм |
2 |
434 |
20 май 2016, 17:03 |
|
Трапеция
в форуме Геометрия |
3 |
331 |
08 апр 2016, 00:55 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |