Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 02 авг 2017, 23:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вчера решил аналитически задачу:
В трапеции известны основания [math]a[/math] и [math]b[/math], а также диагонали [math]d_1[/math] и [math]d_2[/math]. Нужно найти боковые стороны.
Выкладки произвел при помощи Maple. Конечный результат такой:
restart; c := sqrt((a*(-b^2+d2^2)+b*(-a^2+d1^2))/(a+b)); d := sqrt((a*(-b^2+d1^2)+b*(-a^2+d2^2))/(a+b)); a := 41.231; b := 67.91; d1 := 60; d2 := 90; c; d;

Тут показаны и формулы и пример расчета.
Для наглядности сделал рисунок. Меня покорила красота этих формул!

Изображение

Листал рисунки в Яндексе и Гугле по ключевым словам "трапеция геометрия" - нигде ничего подобного не нашел.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
bimol
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 00:22 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 00:16
Сообщений: 206
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
76 раз в 70 сообщениях
Очков репутации: 17

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Где ж рисунок?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 03:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Xmas! Буду признателен, если проверите при разных исходных числах.

Рисунок и формулы (чтобы не листать посты):

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
bimol
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 09:29 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вроде это известные общеизвестные формулы
Если в трапеции ABCD принять точку пересечений диагоналей за О, то через подобие треугольников элементарно найти, отрезки на которые она разбивает диагонали, имеем:
[math]OC=\frac{ d_{1} }{ 1+k }[/math]
[math]AO=k\frac{ d_{1} }{ 1+k }[/math]
[math]DO=\frac{ d_{2} }{ 1+k }[/math]
[math]OB=k\frac{ d_{2} }{ 1+k }[/math]
где [math]k=\frac{ b }{ a }[/math]
Так же, легко вычисляется косинус AOB:
[math]cosAOB=\frac{ d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-a^{2} (1+k)^{2} }{ 2d_{1}d_{2} }[/math]

Соответственно:
[math]cosAOD=cos(180-AOB)=-cosAOB=\frac{ a^{2} (1+k)^{2}- d_{1}^{2}-d_{2}^{2} }{ 2d_{1}d_{2} }[/math]
Тогда по теореме косинусов получаем:
[math]AD=c=\sqrt{d_{1}^{2}(k+1)-a^{2} }[/math]
По возможности перепроверю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 10:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пересчитал, правильно будет так:
[math]c=DA=\sqrt{\frac{ kd_{1}^{2}+d_{2}^{2}-a^{2}(1+k) }{ 1+k } }[/math]
Думаю, что если вместо [math]k[/math] подставить [math]\frac{ b }{ a }[/math], то получим Вашу формулу. Где то я подобное точно видел.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 11:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race. проверил численно Вашу последнюю формулу - что-то она не бьет...
Сопоставил с численным своим решением (оно правильное, обведено красной рамкой). У Вас почему-то почти точно на 10 больше.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 14:38 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust,
проверил, действительно не бьется с геометрическим построением, ошибку смог найти только когда уже все забил через формулы форума, опустил кое-нт [math]k[/math] перед последним членом числителя), правильно будет так :

Дано [math]ABCD[/math] трапеция, [math]AB=b, CD=a; (b>a)[/math] основания, [math]AC=d_{1}; BD=d_{2}[/math] – диагонали трапеции.
Определить боковые стороны: [math]DA=c; BC=d[/math]

1. [math]\triangle AOB \sim \triangle DCO \Rightarrow \frac{ AO }{OC }=\frac{ BO }{OD }=\frac{ b }{ a }=k \Rightarrow OC=\frac{ d_{1} }{ 1+k }; AO=\frac{ kd_{1} }{ 1+k }; OD=\frac{ d_{2} }{ 1+k }; BO=\frac{ kd_{2} }{ 1+k }[/math]
2. По теореме косинусов находим косинус угла [math]\angle DOC[/math]:
[math]cos \angle DOC=\frac{DO^{2}+OC^{2}-a^{2} }{ 2DO \cdot OC }=\frac{ d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-a^{2}(1+k)^{2 } }{ 2d_{1}d_{2} }[/math]
3. Согласно формулам приведения получим значение косинуса [math]\angle DOA[/math]:
[math]cos \angle DOA= cos(180- \angle DOC)=- cos \angle DOC=\frac{ a^{2}(1+k)^{2 } -d_{1}^{2}-d_{2}^{2} }{ 2d_{1}d_{2} }[/math]
4. По теореме косинусов определим [math]DA=c[/math]
[math]c^{2}=DA^{2}=DO^{2}+AO^{2}-2DO \cdot AO cos \angle DOA = \frac{ d_{2}^{2} }{ (1+k)^{2} }+\frac{ k^{2} \cdot d_{1}^{2} }{ (1+k)^{2} }-\frac{ 2k \cdot d_{1} \cdot d_{2} }{ (1+k)^{2} } \cdot \frac{ a^{2}(1+k)^{2 } -d_{1}^{2}-d_{2}^{2} }{ 2d_{1}d_{2} }=[/math]
[math]=\frac{ d_{2}^{2}(1+k)+k \cdot d_{1}^{2}(1+k)-k \cdot a^{2}(1+k)^{2} }{ (1+k)^{2} }=\frac{ k \cdot d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-k \cdot a^{2} (1+k) }{ 1+k }[/math]
Соответственно:
[math]c=AD=\sqrt{\frac{ k \cdot d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-k \cdot a^{2} (1+k) }{ 1+k } }[/math]
[math]d=BC=\sqrt{\frac{ d_{1}^{2}+k \cdot d_{2}^{2}-k \cdot a^{2} (1+k) }{ 1+k } }[/math]
Проверил, бьется с геометрическим построением.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 15:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust,
Хм, судя по всему, мои формулы имеют другой вид, даже если подставить значение оснований.
Если Вас не затруднит, не могли бы вы подсказать по какому пути Вы следовали, при выведении своих симметричных и таких красивых формул?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 17:00 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сейчас проверю Ваши формулы.
Я шел двумя путями: 1) находил координаты всех вершин и затем - длины оснований; 2) известные формулы для диагоналей трапеции

[math]d_1=AC=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}[/math]
[math]d_2=BD=\sqrt{ab+c^2-\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}[/math]
( https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1 ... 0%B8%D1%8F )

вывернул и в явном виде выразил боковые стороны. Результаты совпали.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 17:46 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Сейчас проверю Ваши формулы.
Я шел двумя путями: 1) находил координаты всех вершин и затем - длины оснований; 2) известные формулы для диагоналей трапеции

[math]d_1=AC=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}[/math]
[math]d_2=BD=\sqrt{ab+c^2-\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}[/math]
( https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1 ... 0%B8%D1%8F )

вывернул и в явном виде выразил боковые стороны. Результаты совпали.

На мой взгляд Ваши формулы красивее, так как они симметричны.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3, 4  След.  Страница 1 из 4 [ Сообщений: 31 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти длину отрезка соединяющего боковые стороны трапеции

в форуме Геометрия

KirillLukov

3

700

12 май 2014, 21:12

Нашёл корни, но не все

в форуме Алгебра

Zadrot32216

8

263

25 ноя 2019, 14:30

Правильно нашел интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

adeptus7

2

247

20 май 2017, 18:34

Правильно ли я нашел область интегрирования

в форуме Интегральное исчисление

Lil Moto

0

107

20 апр 2020, 20:01

В учебнике нашел задачу и не получается ее решить

в форуме Теория вероятностей

p985850

1

253

28 авг 2017, 18:28

Я нашел магический квадрат 3 на 3, где все числа - квадраты

в форуме Размышления по поводу и без

iggour

2

465

03 янв 2019, 16:22

Длину CH из точки до плоскости нашел, а как найти точку H?

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Laplacian

2

238

25 июн 2018, 23:27

Нашел интересный способ описания больших чисел

в форуме Размышления по поводу и без

lenar

3

371

24 апр 2015, 17:52

О чем гласит теорема Кулона? Я нашёл только закон Кулона

в форуме Электричество и Магнетизм

sfanter

2

434

20 май 2016, 17:03

Трапеция

в форуме Геометрия

kolysanka

3

331

08 апр 2016, 00:55


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved