Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 00:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10176
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вчера решил аналитически задачу:
В трапеции известны основания [math]a[/math] и [math]b[/math], а также диагонали [math]d_1[/math] и [math]d_2[/math]. Нужно найти боковые стороны.
Выкладки произвел при помощи Maple. Конечный результат такой:
restart; c := sqrt((a*(-b^2+d2^2)+b*(-a^2+d1^2))/(a+b)); d := sqrt((a*(-b^2+d1^2)+b*(-a^2+d2^2))/(a+b)); a := 41.231; b := 67.91; d1 := 60; d2 := 90; c; d;

Тут показаны и формулы и пример расчета.
Для наглядности сделал рисунок. Меня покорила красота этих формул!

Изображение

Листал рисунки в Яндексе и Гугле по ключевым словам "трапеция геометрия" - нигде ничего подобного не нашел.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
bimol
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 01:22 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 01:16
Сообщений: 149
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
46 раз в 41 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Где ж рисунок?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 04:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10176
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Xmas! Буду признателен, если проверите при разных исходных числах.

Рисунок и формулы (чтобы не листать посты):

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
bimol
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 10:29 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 981
Cпасибо сказано: 175
Спасибо получено:
157 раз в 145 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вроде это известные общеизвестные формулы
Если в трапеции ABCD принять точку пересечений диагоналей за О, то через подобие треугольников элементарно найти, отрезки на которые она разбивает диагонали, имеем:
[math]OC=\frac{ d_{1} }{ 1+k }[/math]
[math]AO=k\frac{ d_{1} }{ 1+k }[/math]
[math]DO=\frac{ d_{2} }{ 1+k }[/math]
[math]OB=k\frac{ d_{2} }{ 1+k }[/math]
где [math]k=\frac{ b }{ a }[/math]
Так же, легко вычисляется косинус AOB:
[math]cosAOB=\frac{ d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-a^{2} (1+k)^{2} }{ 2d_{1}d_{2} }[/math]

Соответственно:
[math]cosAOD=cos(180-AOB)=-cosAOB=\frac{ a^{2} (1+k)^{2}- d_{1}^{2}-d_{2}^{2} }{ 2d_{1}d_{2} }[/math]
Тогда по теореме косинусов получаем:
[math]AD=c=\sqrt{d_{1}^{2}(k+1)-a^{2} }[/math]
По возможности перепроверю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 11:43 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 981
Cпасибо сказано: 175
Спасибо получено:
157 раз в 145 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пересчитал, правильно будет так:
[math]c=DA=\sqrt{\frac{ kd_{1}^{2}+d_{2}^{2}-a^{2}(1+k) }{ 1+k } }[/math]
Думаю, что если вместо [math]k[/math] подставить [math]\frac{ b }{ a }[/math], то получим Вашу формулу. Где то я подобное точно видел.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 12:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10176
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race. проверил численно Вашу последнюю формулу - что-то она не бьет...
Сопоставил с численным своим решением (оно правильное, обведено красной рамкой). У Вас почему-то почти точно на 10 больше.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 15:38 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 981
Cпасибо сказано: 175
Спасибо получено:
157 раз в 145 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust,
проверил, действительно не бьется с геометрическим построением, ошибку смог найти только когда уже все забил через формулы форума, опустил кое-нт [math]k[/math] перед последним членом числителя), правильно будет так :

Дано [math]ABCD[/math] трапеция, [math]AB=b, CD=a; (b>a)[/math] основания, [math]AC=d_{1}; BD=d_{2}[/math] – диагонали трапеции.
Определить боковые стороны: [math]DA=c; BC=d[/math]

1. [math]\triangle AOB \sim \triangle DCO \Rightarrow \frac{ AO }{OC }=\frac{ BO }{OD }=\frac{ b }{ a }=k \Rightarrow OC=\frac{ d_{1} }{ 1+k }; AO=\frac{ kd_{1} }{ 1+k }; OD=\frac{ d_{2} }{ 1+k }; BO=\frac{ kd_{2} }{ 1+k }[/math]
2. По теореме косинусов находим косинус угла [math]\angle DOC[/math]:
[math]cos \angle DOC=\frac{DO^{2}+OC^{2}-a^{2} }{ 2DO \cdot OC }=\frac{ d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-a^{2}(1+k)^{2 } }{ 2d_{1}d_{2} }[/math]
3. Согласно формулам приведения получим значение косинуса [math]\angle DOA[/math]:
[math]cos \angle DOA= cos(180- \angle DOC)=- cos \angle DOC=\frac{ a^{2}(1+k)^{2 } -d_{1}^{2}-d_{2}^{2} }{ 2d_{1}d_{2} }[/math]
4. По теореме косинусов определим [math]DA=c[/math]
[math]c^{2}=DA^{2}=DO^{2}+AO^{2}-2DO \cdot AO cos \angle DOA = \frac{ d_{2}^{2} }{ (1+k)^{2} }+\frac{ k^{2} \cdot d_{1}^{2} }{ (1+k)^{2} }-\frac{ 2k \cdot d_{1} \cdot d_{2} }{ (1+k)^{2} } \cdot \frac{ a^{2}(1+k)^{2 } -d_{1}^{2}-d_{2}^{2} }{ 2d_{1}d_{2} }=[/math]
[math]=\frac{ d_{2}^{2}(1+k)+k \cdot d_{1}^{2}(1+k)-k \cdot a^{2}(1+k)^{2} }{ (1+k)^{2} }=\frac{ k \cdot d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-k \cdot a^{2} (1+k) }{ 1+k }[/math]
Соответственно:
[math]c=AD=\sqrt{\frac{ k \cdot d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-k \cdot a^{2} (1+k) }{ 1+k } }[/math]
[math]d=BC=\sqrt{\frac{ d_{1}^{2}+k \cdot d_{2}^{2}-k \cdot a^{2} (1+k) }{ 1+k } }[/math]
Проверил, бьется с геометрическим построением.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 16:43 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 981
Cпасибо сказано: 175
Спасибо получено:
157 раз в 145 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust,
Хм, судя по всему, мои формулы имеют другой вид, даже если подставить значение оснований.
Если Вас не затруднит, не могли бы вы подсказать по какому пути Вы следовали, при выведении своих симметричных и таких красивых формул?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 18:00 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10176
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сейчас проверю Ваши формулы.
Я шел двумя путями: 1) находил координаты всех вершин и затем - длины оснований; 2) известные формулы для диагоналей трапеции

[math]d_1=AC=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}[/math]
[math]d_2=BD=\sqrt{ab+c^2-\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}[/math]
( https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1 ... 0%B8%D1%8F )

вывернул и в явном виде выразил боковые стороны. Результаты совпали.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция: нашел боковые стороны
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 18:46 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 981
Cпасибо сказано: 175
Спасибо получено:
157 раз в 145 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Сейчас проверю Ваши формулы.
Я шел двумя путями: 1) находил координаты всех вершин и затем - длины оснований; 2) известные формулы для диагоналей трапеции

[math]d_1=AC=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}[/math]
[math]d_2=BD=\sqrt{ab+c^2-\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}[/math]
( https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1 ... 0%B8%D1%8F )

вывернул и в явном виде выразил боковые стороны. Результаты совпали.

На мой взгляд Ваши формулы красивее, так как они симметричны.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти длину отрезка соединяющего боковые стороны трапеции

в форуме Геометрия

KirillLukov

3

249

12 май 2014, 22:12

Правильно нашел интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

adeptus7

2

63

20 май 2017, 19:34

В учебнике нашел задачу и не получается ее решить

в форуме Теория вероятностей

p985850

1

67

28 авг 2017, 19:28

Правильно ли я нашел общее решение Производной?

в форуме Дифференциальное исчисление

mibr

6

227

18 июн 2013, 14:49

Нашел интересный способ описания больших чисел

в форуме Размышления по поводу и без

lenar

3

191

24 апр 2015, 18:52

О чем гласит теорема Кулона? Я нашёл только закон Кулона

в форуме Электричество и Магнетизм

sfanter

2

170

20 май 2016, 18:03

Трапеция

в форуме Геометрия

Firsov34

5

375

19 дек 2015, 23:20

Трапеция

в форуме Геометрия

Kristinadefa

0

204

24 сен 2015, 15:57

Трапеция

в форуме Геометрия

sfanter

3

130

23 июл 2014, 12:38

Трапеция

в форуме Геометрия

shcolnik

3

205

21 апр 2015, 20:53


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved