Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Можно ли в Maple найти n-ю производную функции?
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=21&t=4388
Страница 1 из 1

Автор:  Everyman [ 14 мар 2011, 22:32 ]
Заголовок сообщения:  Можно ли в Maple найти n-ю производную функции?

Можно ли в Maple решить следующую задачу:

Найти n-ю производную функции (да, да именно какую-то n-ю производную, в этом то и проблема) f(t) в нуле (t=0), вот собственно функция которая меня интересует

[math]f(t) = \frac{1}{(1-t^{a_1})(1-t^{a_2})(1-t^{a_3})}[/math] где a1,a2,a3 - натуральные числа???

Автор:  Alexdemath [ 14 мар 2011, 22:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Можно ли в Maple найти n-ю производную функции?

Everyman

Я даже что-то не уверен, что n-ю производную этой функции можно вообще найти.

Автор:  Everyman [ 14 мар 2011, 23:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Можно ли в Maple найти n-ю производную функции?

Alexdemath

Если бы я знал n-ю производную этой функции - понятное дело что потом заменить букву t на нуль я смог бы. Вся проблема в том, что я не могу найти n-ю производную этой функции, и я надеялся что Maple мне поможет, но видно увы:( Возможно и не получится написать общую формулу для n-й производной этой функции, а возможно и есть общий закон, но его ОЧЕНЬ сложно увидеть...

Автор:  MihailM [ 16 мар 2011, 00:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Можно ли в Maple найти n-ю производную функции?

стандартный способ такой
раскроем знаменатель и умножим обе части выражения задающего функцию на него
по формуле Лейбница берем н-ю производную
подставляем ноль и получаем рекуррентное соотношение
обычно это соотношение более менее хорошее

Автор:  Everyman [ 17 мар 2011, 14:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Можно ли в Maple найти n-ю производную функции?

MihailM

Если не сложно, продемонстрируйте пожалуйста описанный выше метод на примере функции которая удобнее для вычисления.

Автор:  Everyman [ 18 мар 2011, 17:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Можно ли в Maple найти n-ю производную функции?

MihailM

Не понятно что потом с этим рекуррентным соотношением делать. Из него можно понять чему равна n-я производная или нет?
Я не могу понять как из рекуррентного соотношения найти n-ю производную.
Я проделал то что вы описали на примере вычисления n-й производной функции
[math]f(t) = \frac{1}{{(1 - t)^k }}[/math] для которой я заранее знаю n-ю производную:
[math]f'(t) = k(1 - t)^{ - (k + 1)}[/math]
[math]f''(t) = k(k + 1)(1 - t)^{ - (k + 2)}[/math]
[math]f^{(n)} (t) = k(k + 1)...(k + (n - 1))(1 - t)^{ - (k + n)}[/math]
[math]f^{(n)} (0) = k(k + 1)...(k + (n - 1))[/math]
Далее [math]f^{(n)} (0) = f_0^{(n)}[/math].
Применяю ваш метод(если я правильно понял)
[math]f(t)(1 - t)^k = 1[/math]; [math]\psi (t) = (1 - t)^k[/math]. Использую формулу Лейбница
[math]C_n^0 f^{(n)} (t)\psi (t) + C_n^1 f^{(n - 1)} (t)\psi '(t) + C_n^2 f^{(n - 2)} (t)\psi ''(t) + ... + C_n^k f^{(n - k)} (t)\psi ^{(k)} (t) = 0[/math]
Для [math]\psi (t)[/math]я знаю общую формулу для n-й производной:
[math]\psi ^{(n)} (t) = ( - 1)^n k(k - 1)...(k - n + 1)(1 - t)^{k - n}[/math]
В итоге при t=0
[math]C_n^0 f_0^{^{(n)} } \psi _0 + C_n^1 f_0^{^{(n - 1)} } \psi _0^{(1)} + C_n^2 f_0^{^{(n - 2)} } \psi _0^{(2)} + ... + C_n^k f_0^{^{(n - k)} } \psi _0^{(k)} = 0[/math]
Всё, а что дальше... Как из последней строчки увидеть,что [math]f^{(n)} (0) = k(k + 1)...(k + (n - 1))[/math]?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/