Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
mischanja |
|
|
1. [math]\int\frac{x^3+2}{x^2-x-2}\,dx[/math] 2. [math]\int\frac{3x^2+x+3}{(x-1)^3(x^2+1)}\,dx[/math] Пожалуйста! |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
mischanja писал(а): Помогите найти два интеграла от дробно-рациональных функций. 1. [math]\int\frac{x^3+2}{x^2-x-2}\,dx[/math] Пожалуйста! Сначала надо вывести из числителя дроби целую часть, затем - то, что останется - разложить на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов: [math]\frac{x^3+2}{x^2-x-2}=\frac{(x+1)(x^2-x-2+3)+1}{x^2-x-2}=[/math] [math]\frac{(x+1)(x^2-x-2)+3x+4}{x^2-x-2}=x+1+\frac{3x+4}{x^2-x-2}[/math] . [math]\frac{3x+4}{x^2-x-2}=\frac{3x+4}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}\Rightarrow[/math] [math]\Rightarrow3x+4=A(x+1)+B(x-2)[/math]. Если [math]x=2[/math], тогда [math]3\cdot2+4=3A~\Leftrightarrow~A=\frac{10}{3}[/math]. Если [math]x=-1[/math], тогда [math]-3+4=-3B~\Leftrightarrow~B=-\frac{1}{3}[/math]. Следовательно, [math]\int\frac{x^3+2}{x^2-x-2}\,dx=\int\!\left(x+1+\frac{10}{3}\frac{1}{x-2}-\frac{1}{3}\frac{1}{x+1}\right)\!dx=[/math] [math]=\frac{x^2}{2}+x+\frac{10}{3}\ln|x-2|-\frac{1}{3}\ln|x+1|+C[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: mischanja |
||
Alexdemath |
|
|
mischanja писал(а): Помогите найти два интеграла от дробно-рациональных функций. 2. [math]\int\frac{3x^2+x+3}{(x-1)^3(x^2+1)}\,dx[/math] Пожалуйста! Разложи подынтегральную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов: [math]\frac{3x^2+x+3}{(x-1)^3(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}\frac{Dx+E}{x^2+1}~\Rightarrow[/math] [math]\Rightarrow~3x^2+x+3=[/math][math]A(x-1)^2(x^2+1)+B(x-1)(x^2+1)+C(x^2+1)+(Dx+E)(x-1)^3=[/math] [math]=(A+D)x^4+(-2A+B-3D+E)x^3+(2A-B+3D-3E+C)x^2+[/math][math](-2A-D+B+3E)x+A-B+C-E~\Rightarrow[/math] [math]\Rightarrow~\left\{\begin{gathered}A+D=0,\hfill\\-2A+B-3D+E=0,\hfill\\2A-B+3D-3E+C=3,\hfill\\-2A-D+B+3E=1,\hfill\\A-B+C-E;\hfill\\\end{gathered}\right.~\Leftrightarrow~\left\{\begin{gathered}A=-\frac{1}{4},~B=0,~C=\frac{7}{2},\hfill\\D=\frac{1}{4},~E=\frac{1}{4}.\hfill\\\end{gathered}\right.[/math] Следовательно: [math]\int\frac{3x^2+x+3}{(x-1)^3(x^2+1)}\,dx=\int\left[\frac{-1}{4(x-1)}+\frac{7}{2(x-1)^3}+\frac{x+1}{4(x^2+1)}\right]dx=[/math] [math]=-\frac{1}{4}\ln|x-1|-\frac{7}{4(x-1)^2}+\frac{1}{8}\ln(x^2+1)+\frac{1}{4}\operatorname{arctg}{x}+C.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: mischanja |
||
[ Сообщений: 3 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Интегрирование дробно-рациональных функций
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
150 |
08 дек 2020, 17:21 |
|
Интегрирование рациональных функций
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
290 |
23 апр 2014, 13:07 |
|
Предел интеграла от измеримых функций
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
323 |
18 май 2018, 01:05 |
|
Уравнение в рациональных
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
7 |
231 |
10 май 2019, 23:25 |
|
Последовательность рациональных чисел
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
6 |
358 |
28 авг 2019, 08:49 |
|
Найти два рациональных числа
в форуме Алгебра |
6 |
638 |
08 май 2014, 12:01 |
|
Решить в рациональных числах
в форуме Теория чисел |
3 |
407 |
17 апр 2015, 18:00 |
|
Покрытие рациональных чисел | 3 |
490 |
10 янв 2016, 11:42 |
|
Преобразование рациональных выражений
в форуме Алгебра |
1 |
398 |
26 окт 2016, 03:44 |
|
Существование последовательности рациональных чисел
в форуме Теория чисел |
3 |
280 |
16 янв 2019, 11:09 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 33 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |