Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Два интеграла от дробно-рациональных функций
СообщениеДобавлено: 21 мар 2010, 18:22 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 мар 2010, 12:36
Сообщений: 16
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
2 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите найти два интеграла от дробно-рациональных функций.

1. [math]\int\frac{x^3+2}{x^2-x-2}\,dx[/math]

2. [math]\int\frac{3x^2+x+3}{(x-1)^3(x^2+1)}\,dx[/math]

Пожалуйста!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два интеграла от дробно-рациональных функций
СообщениеДобавлено: 22 мар 2010, 09:07 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mischanja писал(а):
Помогите найти два интеграла от дробно-рациональных функций.

1. [math]\int\frac{x^3+2}{x^2-x-2}\,dx[/math]

Пожалуйста!

Сначала надо вывести из числителя дроби целую часть, затем - то, что останется - разложить на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

[math]\frac{x^3+2}{x^2-x-2}=\frac{(x+1)(x^2-x-2+3)+1}{x^2-x-2}=[/math]

[math]\frac{(x+1)(x^2-x-2)+3x+4}{x^2-x-2}=x+1+\frac{3x+4}{x^2-x-2}[/math] .

[math]\frac{3x+4}{x^2-x-2}=\frac{3x+4}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}\Rightarrow[/math]

[math]\Rightarrow3x+4=A(x+1)+B(x-2)[/math].

Если [math]x=2[/math], тогда [math]3\cdot2+4=3A~\Leftrightarrow~A=\frac{10}{3}[/math].

Если [math]x=-1[/math], тогда [math]-3+4=-3B~\Leftrightarrow~B=-\frac{1}{3}[/math].

Следовательно,

[math]\int\frac{x^3+2}{x^2-x-2}\,dx=\int\!\left(x+1+\frac{10}{3}\frac{1}{x-2}-\frac{1}{3}\frac{1}{x+1}\right)\!dx=[/math]

[math]=\frac{x^2}{2}+x+\frac{10}{3}\ln|x-2|-\frac{1}{3}\ln|x+1|+C[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mischanja
 Заголовок сообщения: Re: Два интеграла от дробно-рациональных функций
СообщениеДобавлено: 22 мар 2010, 10:13 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mischanja писал(а):
Помогите найти два интеграла от дробно-рациональных функций.

2. [math]\int\frac{3x^2+x+3}{(x-1)^3(x^2+1)}\,dx[/math]

Пожалуйста!


Разложи подынтегральную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

[math]\frac{3x^2+x+3}{(x-1)^3(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}\frac{Dx+E}{x^2+1}~\Rightarrow[/math]

[math]\Rightarrow~3x^2+x+3=[/math][math]A(x-1)^2(x^2+1)+B(x-1)(x^2+1)+C(x^2+1)+(Dx+E)(x-1)^3=[/math]

[math]=(A+D)x^4+(-2A+B-3D+E)x^3+(2A-B+3D-3E+C)x^2+[/math][math](-2A-D+B+3E)x+A-B+C-E~\Rightarrow[/math]

[math]\Rightarrow~\left\{\begin{gathered}A+D=0,\hfill\\-2A+B-3D+E=0,\hfill\\2A-B+3D-3E+C=3,\hfill\\-2A-D+B+3E=1,\hfill\\A-B+C-E;\hfill\\\end{gathered}\right.~\Leftrightarrow~\left\{\begin{gathered}A=-\frac{1}{4},~B=0,~C=\frac{7}{2},\hfill\\D=\frac{1}{4},~E=\frac{1}{4}.\hfill\\\end{gathered}\right.[/math]

Следовательно:

[math]\int\frac{3x^2+x+3}{(x-1)^3(x^2+1)}\,dx=\int\left[\frac{-1}{4(x-1)}+\frac{7}{2(x-1)^3}+\frac{x+1}{4(x^2+1)}\right]dx=[/math]

[math]=-\frac{1}{4}\ln|x-1|-\frac{7}{4(x-1)^2}+\frac{1}{8}\ln(x^2+1)+\frac{1}{4}\operatorname{arctg}{x}+C.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mischanja
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интегрирование дробно-рациональных функций

в форуме Интегральное исчисление

Fa4stik

5

150

08 дек 2020, 17:21

Интегрирование рациональных функций

в форуме Интегральное исчисление

overkill21

4

290

23 апр 2014, 13:07

Предел интеграла от измеримых функций

в форуме Интегральное исчисление

Gargantua

5

323

18 май 2018, 01:05

Уравнение в рациональных

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Claudia

7

231

10 май 2019, 23:25

Последовательность рациональных чисел

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Vilisa

6

358

28 авг 2019, 08:49

Найти два рациональных числа

в форуме Алгебра

olga153b

6

638

08 май 2014, 12:01

Решить в рациональных числах

в форуме Теория чисел

AlexSam

3

407

17 апр 2015, 18:00

Покрытие рациональных чисел

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Human

3

490

10 янв 2016, 11:42

Преобразование рациональных выражений

в форуме Алгебра

Lana67

1

398

26 окт 2016, 03:44

Существование последовательности рациональных чисел

в форуме Теория чисел

e7min

3

280

16 янв 2019, 11:09


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 33


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved