| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями: http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=9629 |
Страница 2 из 2 |
| Автор: | Yurik [ 20 дек 2011, 08:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями: |
Ну, да, нашёл я ошибку, но не в пределах, а коэффициенте перед интегралом. [math]\begin{gathered} V = \iiint\limits_T {dxdydz} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_0^{2\cos \varphi } {rdr} \int\limits_0^{\frac{{{r^2}}}{8}} {dz} = \frac{1}{8}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_0^{2\cos \varphi } {{r^3}dr} = \frac{1}{8}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left. {\frac{{{r^4}}}{4}} \right|_0^{2\cos \varphi }d\varphi } = \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^4}\varphi d\varphi } = \hfill \\ = \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sin 2\varphi } \right)}^2}d\varphi } = \frac{1}{4}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {1 + \sin 2\varphi } \right)}^2}d\varphi } = \frac{1}{4}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + 2\sin 2\varphi + {{\sin }^2}2\varphi } \right)d\varphi } = \hfill \\ = \frac{1}{4}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + 2\sin 2\varphi + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin 4\varphi } \right)d\varphi } = \frac{1}{4}\left. {\left( {\frac{{3\varphi }}{2} - \cos 2\varphi + \frac{1}{8}\cos 4\varphi } \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = \hfill \\ = \frac{1}{4}\left( {\frac{{3\pi }}{4} + 1 + \frac{1}{8} + \frac{{3\pi }}{4} - 1 - \frac{1}{8}} \right) = \frac{{3\pi }}{{16}} \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Автор: | Yurik [ 20 дек 2011, 08:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями: |
Самая "человеческая" картинка из представленных у vvvv. Таким я это тело и представлял, так и описывал. |
|
| Страница 2 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|