Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти объем тела, ограниченного плоскостями
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=9279
Страница 1 из 2

Автор:  smirnov_andrey [ 08 ноя 2011, 22:32 ]
Заголовок сообщения:  Найти объем тела, ограниченного плоскостями

Всем доброго вечера. Задача стоит найти объем тела, ограниченного плоскостями

[math]z=0,~~z=y+x+3,~~x^2+\frac{y^2}{4}=1[/math] с помощью двойного интеграла.

В основном сложность с рисунком. В какой программе и каким образом можно в одной системе координат изобразить как плоскости, так и получившиеся тело?
Всем спасибо. На форуме впервые. Буду учиться!

Автор:  Alexdemath [ 09 ноя 2011, 00:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела, ограниченного плоскостями

Например, данное тело можно построить в Maple. Вот код

plot3d([x+y+3], x = -sqrt(1-(1/4)*y^2) .. sqrt(1-(1/4)*y^2), y = -2 .. 2, filled = true, style = hidden, color = cyan, transparency = 0.25, lightmodel = light4, numpoints = 10000, axes = normal, scaling = constrained, orientation = [-31, 44])

График тела, образованного плоскостями и эллиптическим цилиндром, и его проекции на плоскость xOy

Вычисление объёма тела

[math]\begin{aligned}D_{xy}&= \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid\,x^2+\frac{y^2}{4}\leqslant1\right\}\\[7pt]V&= \iint\limits_{D_{xy}}f(x,y)\,dxdy= \iint\limits_{x^2+\tfrac{y^2}{4}\leqslant1}(x+y+3)\,dxdy= \left\{\begin{gathered}x = r\cos \varphi , \hfill \\y = 2r\sin\varphi, \hfill \\J=2r \hfill\end{gathered}\right\}=\\[3pt] &= 2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^1(r^2\cos\varphi+2r^2\sin\varphi+3r)\,dr= 2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \left.{\left(\frac{r^3}{3}\cos\varphi+\frac{2}{3}\,r^3\sin\varphi+\frac{3}{2}\,r^2\right)} \right|_0^1 =\\[3pt] &=2\int\limits_0^{2\pi}\!\left(\frac{1}{3}\cos\varphi+ \frac{2}{3}\sin \varphi+ \frac{3}{2}\right)\!d\varphi= \left. {2\left( {\frac{1}{3}\sin\varphi- \frac{2}{3}\cos\varphi+ \frac{3}{2}\varphi\right)}\right|_0^{2\pi}=\\[3pt] &=2\!\left[0-\frac{2}{3}+3\pi-\left(0-\frac{2}{3}+0\right)\right]= 6\pi \end{aligned}[/math]

Автор:  valentina [ 09 ноя 2011, 00:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела, ограниченного плоскостями

Alexdemath
[y+x+3] обязательно записывать как [x+y+3] ?

Автор:  Alexdemath [ 09 ноя 2011, 00:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела, ограниченного плоскостями

valentina

Да, а то будут проблемы.

Автор:  valentina [ 09 ноя 2011, 00:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела, ограниченного плоскостями

Спасибо.

Автор:  valentina [ 09 ноя 2011, 00:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела, ограниченного плоскостями

Как не стыдно обманывать. Я попробовала и разницы не увидела :evil:

Автор:  smirnov_andrey [ 09 ноя 2011, 08:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела, ограниченного плоскостями

Alexdemath, спасибо. Спас! Осваиваю Maple! :beer:

Автор:  smirnov_andrey [ 26 ноя 2011, 01:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела, ограниченного плоскостями

Alexdemath
Что такое J=2r. Эта скобка - это переход к полярным координатам?
И еще, почему внутренний интеграл от 0 до 1? Как обосновать эти два вопроса?

Автор:  Alexdemath [ 26 ноя 2011, 03:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела, ограниченного плоскостями

smirnov_andrey

Мы сделали переход к обобщённым полярным координатам.

smirnov_andrey писал(а):
Что такое J=2r

Это якобиан перехода от прямоугольных координатах к обобщённым полярным координатам.

Почитайте в учебнике об обобщённых полярных координатах и всё станет ясно.

А что препод не принял решение??

Автор:  smirnov_andrey [ 21 дек 2011, 18:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела, ограниченного плоскостями

Alexdemath
Почему от 0 до 1 внутренний интеграл?

Есть решение не переходя к полярным координатам?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/