| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти объем тела, ограниченного плоскостями http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=9279 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | smirnov_andrey [ 08 ноя 2011, 22:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти объем тела, ограниченного плоскостями |
Всем доброго вечера. Задача стоит найти объем тела, ограниченного плоскостями [math]z=0,~~z=y+x+3,~~x^2+\frac{y^2}{4}=1[/math] с помощью двойного интеграла. В основном сложность с рисунком. В какой программе и каким образом можно в одной системе координат изобразить как плоскости, так и получившиеся тело? Всем спасибо. На форуме впервые. Буду учиться! |
|
| Автор: | Alexdemath [ 09 ноя 2011, 00:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти объем тела, ограниченного плоскостями |
Например, данное тело можно построить в Maple. Вот код plot3d([x+y+3], x = -sqrt(1-(1/4)*y^2) .. sqrt(1-(1/4)*y^2), y = -2 .. 2, filled = true, style = hidden, color = cyan, transparency = 0.25, lightmodel = light4, numpoints = 10000, axes = normal, scaling = constrained, orientation = [-31, 44]) Вычисление объёма тела [math]\begin{aligned}D_{xy}&= \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid\,x^2+\frac{y^2}{4}\leqslant1\right\}\\[7pt]V&= \iint\limits_{D_{xy}}f(x,y)\,dxdy= \iint\limits_{x^2+\tfrac{y^2}{4}\leqslant1}(x+y+3)\,dxdy= \left\{\begin{gathered}x = r\cos \varphi , \hfill \\y = 2r\sin\varphi, \hfill \\J=2r \hfill\end{gathered}\right\}=\\[3pt] &= 2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^1(r^2\cos\varphi+2r^2\sin\varphi+3r)\,dr= 2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \left.{\left(\frac{r^3}{3}\cos\varphi+\frac{2}{3}\,r^3\sin\varphi+\frac{3}{2}\,r^2\right)} \right|_0^1 =\\[3pt] &=2\int\limits_0^{2\pi}\!\left(\frac{1}{3}\cos\varphi+ \frac{2}{3}\sin \varphi+ \frac{3}{2}\right)\!d\varphi= \left. {2\left( {\frac{1}{3}\sin\varphi- \frac{2}{3}\cos\varphi+ \frac{3}{2}\varphi\right)}\right|_0^{2\pi}=\\[3pt] &=2\!\left[0-\frac{2}{3}+3\pi-\left(0-\frac{2}{3}+0\right)\right]= 6\pi \end{aligned}[/math] |
|
| Автор: | valentina [ 09 ноя 2011, 00:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти объем тела, ограниченного плоскостями |
Alexdemath [y+x+3] обязательно записывать как [x+y+3] ? |
|
| Автор: | Alexdemath [ 09 ноя 2011, 00:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти объем тела, ограниченного плоскостями |
valentina Да, а то будут проблемы. |
|
| Автор: | valentina [ 09 ноя 2011, 00:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти объем тела, ограниченного плоскостями |
Спасибо. |
|
| Автор: | valentina [ 09 ноя 2011, 00:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти объем тела, ограниченного плоскостями |
Как не стыдно обманывать. Я попробовала и разницы не увидела
|
|
| Автор: | smirnov_andrey [ 09 ноя 2011, 08:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти объем тела, ограниченного плоскостями |
Alexdemath, спасибо. Спас! Осваиваю Maple!
|
|
| Автор: | smirnov_andrey [ 26 ноя 2011, 01:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти объем тела, ограниченного плоскостями |
Alexdemath Что такое J=2r. Эта скобка - это переход к полярным координатам? И еще, почему внутренний интеграл от 0 до 1? Как обосновать эти два вопроса? |
|
| Автор: | Alexdemath [ 26 ноя 2011, 03:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти объем тела, ограниченного плоскостями |
smirnov_andrey Мы сделали переход к обобщённым полярным координатам. smirnov_andrey писал(а): Что такое J=2r Это якобиан перехода от прямоугольных координатах к обобщённым полярным координатам. Почитайте в учебнике об обобщённых полярных координатах и всё станет ясно. А что препод не принял решение?? |
|
| Автор: | smirnov_andrey [ 21 дек 2011, 18:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти объем тела, ограниченного плоскостями |
Alexdemath Почему от 0 до 1 внутренний интеграл? Есть решение не переходя к полярным координатам? |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|