Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
NISANA |
|
||
[math]z=4-y^2,\quad x^2+y^2=4,\quad z\geqslant0[/math] не могу сообразить даже как график построить(( |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
||
Данное тело ограничено сверху параболическим цилиндром [math]z=4-y^2[/math], снизу плоскостью [math]z=0[/math] и сбоков круговым цилиндром [math]x^2+y^2=4[/math]. Проекцией тела на плоскость [math]Oxy[/math] является круг [math]x^2+y^2\leqslant4[/math] радиуса 2 с центром в начале координат [math](0;0)[/math].
Запишем область [math]T[/math], которую образуют данный поверхности, в виде неравенств и вычислим искомый объём [math]V[/math] тела с помощью тройного интеграла, используя при вычислении полярный координаты: [math]\begin{aligned}T&=\Bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid\,x^2+y^2\leqslant 4,~0 \leqslant z \leqslant 4-y^2\Bigr\}\\[7pt] V&=\iiint\limits_T dxdydz= \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant4}dxdy \int\limits_0^{4-y^2}dz= \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant4}(4-y^2)\,dxdy= \left\{\begin{gathered}x=r\cos\varphi,\hfill\\ y=r\sin\varphi\hfill\end{gathered}\right\}=\\[2pt] &=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^2\(4-r^2\sin^2\varphi)\,r\,dr= \int\limits_0^{2\pi}d\varphi \left.{\left(2r^2-\frac{r^4}{4}\sin^2\varphi\right)}\right|_0^2= \int\limits_0^{2\pi}\!\left(8- 4\sin^2\varphi\right)\!d\varphi=\\[3pt] &=\int\limits_0^{2\pi}\!\left(8- 4\cdot\frac{1-\cos2\varphi}{2}\right)\!d\varphi= \int\limits_0^{2\pi}(6+2\cos 2\varphi)d\varphi= \left.{\Bigl(6\varphi+ \sin 2\varphi\Bigr)}\right|_0^{2\pi}=12\pi\end{aligned}[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: NISANA, r95h |
|||
NISANA |
|
|
Спасибо!)
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 3 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 37 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |