Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Нарисовать тело, объем которого описывается интегралом
СообщениеДобавлено: 02 окт 2011, 16:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 окт 2011, 10:12
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

[math]x+y=2;\quad y=\sqrt{x};\quad z=12y;\quad z=0[/math]

2. Нарисовать тело, объем которого описывается данным интегралом

[math]V=\int\limits_{-2}^2 dx \int\limits_{x^2-4}^0(2+x)\,dy[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нарисовать тело, объем которого описывается интегралом
СообщениеДобавлено: 03 окт 2011, 16:03 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 5984
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3239
Спасибо получено:
3118 раз в 2263 сообщениях
Очков репутации: 651

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
skwizgard писал(а):
1. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
[math]x+y=2;\quad y=\sqrt{x};\quad z=12y;\quad z=0[/math]

Данное тело ограничено сверху плоскостью [math]z=12y[/math], с правого бока плоскостью [math]x+y=2[/math] и слевого цилиндрической поверхностью [math]y=\sqrt{x}[/math], снизу плоскостью [math]z=0[/math]. Проекцией тела на плоскость [math]Oxy[/math] является область, образованная пересечением графиков функций [math]x+y=2,~y=\sqrt{x}[/math] и [math]y=0[/math] и лежащая в первом квадранте. Сделаем чертёж тела.

Запишем пространственную область [math]\Omega[/math], которую ограничивают графики исходных поверхностей, в виде неравенств и вычислим искомый объём [math]V[/math] тела с помощью тройного интеграла:

[math]\begin{aligned}\Omega&=\Bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid\,0\leqslant y\leqslant1,~y^2\leqslant x\leqslant2-y,~0\leqslant z\leqslant12y\Bigr\}\\[7pt] V&=\iiint\limits_\Omega dxdydz= \int\limits_0^1 dy \int\limits_{y^2}^{2-y}dx \int\limits_0^{12y}dz= 12\int\limits_0^1 y(2-y-y^2)dy= 12\int\limits_0^1(2y-y^2-y^3)\,dy=\\[3pt] &= \left.{12\!\left(y^2-\frac{y^3}{3}-\frac{y^4}{4}\right)}\!\right|_0^1= 12\!\left(1-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)= 12\!\left(1-\frac{7}{12}\right)= 12\cdot\frac{5}{12}=5\end{aligned}[/math]

Не забудьте дописать к ответу (куб. ед.).

Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mad_math, skwizgard
 Заголовок сообщения: Re: Нарисовать тело, объем которого описывается интегралом
СообщениеДобавлено: 04 окт 2011, 02:40 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 5984
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3239
Спасибо получено:
3118 раз в 2263 сообщениях
Очков репутации: 651

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
skwizgard писал(а):
2. Нарисовать тело, объем которого описывается данным интегралом

[math]V=\int\limits_{-2}^2 dx \int\limits_{x^2-4}^0(2+x)\,dy[/math]

Данное тело ограниченно сверху плоскостью [math]z=2+x[/math], снизу плоскостью [math]z=0[/math],
Проекцией тела на плоскость [math]Oxy[/math] является область между параболой (снизу) [math]y=x^2-4[/math] и прямой [math]y=0[/math] (сверху), лежащая в третьем и четвёртом квадрантах. Итак, нарисуем данное тело

Объём тела, образованного цилиндрическими поверхностями и плоскостью

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
skwizgard
 Заголовок сообщения: Re: Нарисовать тело, объем которого описывается интегралом
СообщениеДобавлено: 09 окт 2011, 12:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 окт 2011, 10:12
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А как сосчитать обьем? у меня получилось 7 но я не уверен...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нарисовать тело, объем которого описывается интегралом
СообщениеДобавлено: 09 окт 2011, 13:25 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 5984
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3239
Спасибо получено:
3118 раз в 2263 сообщениях
Очков репутации: 651

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
skwizgard, неверно посчитали интеграл

[math]\begin{aligned}V&=\int\limits_{-2}^2 dx \int\limits_{x^2-4}^0(2 + x)\,dy= \int\limits_{-2}^2 (2+x)[0-(x^2-4)]\,dx= \int\limits_{-2}^2 (2 + x)(4 -x^2)\,dx=\\[3pt] &=\int\limits_{ - 2}^2 (8 + 4x - 2x^2- x^3)\,dx= \left.{\left(8x + 2x^2- \frac{2}{3}x^3 - \frac{x^4}{4}\right)}\!\right|_{-2}^2=\\[3pt] &=16 + 8 - \frac{16}{3} - \frac{16}{4} - \left(-16 + 8 + \frac{16}{3}-\frac{16}{4}\right)= 32 - \frac{16}{3} - \frac{16}{3} =\frac{64}{3}\end{aligned}[/math]

К ответу допишите (куб. ед.).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
skwizgard
 Заголовок сообщения: Re: Нарисовать тело, объем которого описывается интегралом
СообщениеДобавлено: 21 дек 2019, 23:41 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 78
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath писал(а):
skwizgard писал(а):
1. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
[math]x+y=2;\quad y=\sqrt{x};\quad z=12y;\quad z=0[/math]

Данное тело ограничено сверху плоскостью [math]z=12y[/math], с правого бока плоскостью [math]x+y=2[/math] и слевого цилиндрической поверхностью [math]y=\sqrt{x}[/math], снизу плоскостью [math]z=0[/math]. Проекцией тела на плоскость [math]Oxy[/math] является область, образованная пересечением графиков функций [math]x+y=2,~y=\sqrt{x}[/math] и [math]y=0[/math] и лежащая в первом квадранте. Сделаем чертёж тела.

Запишем пространственную область [math]\Omega[/math], которую ограничивают графики исходных поверхностей, в виде неравенств и вычислим искомый объём [math]V[/math] тела с помощью тройного интеграла:

[math]\begin{aligned}\Omega&=\Bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid\,0\leqslant y\leqslant1,~y^2\leqslant x\leqslant2-y,~0\leqslant z\leqslant12y}\Bigr\}\\[7pt] V&=\iiint\limits_\Omega dxdydz= \int\limits_0^1 dy \int\limits_{y^2}^{2-y}dx \int\limits_0^{12y}dz= 12\int\limits_0^1 y(2-y-y^2)dy}= 12\int\limits_0^1(2y-y^2-y^3)\,dy=\\[3pt] &= \left.{12\!\left(y^2-\frac{y^3}{3}-\frac{y^4}{4}\right)}\!\right|_0^1= 12\!\left(1-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)= 12\!\left(1-\frac{7}{12}\right)= 12\cdot\frac{5}{12}=5\end{aligned}[/math]

Не забудьте дописать к ответу (куб. ед.).

Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

Подскажите, пожалуйста, в какой программе или еще где вы делали этот рисунок?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Нарисовать тело, объем которого описывается интегралом

в форуме Интегральное исчисление

math1love

0

59

22 дек 2019, 16:19

Нарисовать тело, объём которого описывается интегралом

в форуме Интегральное исчисление

wazzzzuuuup

7

585

11 фев 2011, 17:26

Тело,температура которого 25 градусов,погружено в термостат

в форуме Молекулярная физика и Термодинамика

Lerochka

1

1143

12 май 2014, 19:20

Объем двойным интегралом.

в форуме Интегральное исчисление

StaroKep

2

232

22 окт 2015, 17:45

Объём тела тройным интегралом

в форуме Интегральное исчисление

mad_math

13

534

19 окт 2015, 20:18

Объём тела тройным интегралом

в форуме Интегральное исчисление

mad_math

4

320

23 апр 2011, 13:49

Двойным интегралом вычислить объем тела, ограниченного

в форуме Интегральное исчисление

ACDCfan

1

252

06 окт 2013, 16:42

Найти объем ограниченного поверхностями двойным интегралом

в форуме Интегральное исчисление

zhenyajecks

8

200

01 май 2019, 15:44

Построить тело и вычислить его объём с помощью интеграла

в форуме Интегральное исчисление

ronald13

2

405

21 авг 2012, 14:33

Построить тело, ограниченное поверхностями и найти его объем

в форуме Интегральное исчисление

DannyO

4

297

29 сен 2016, 16:40


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved