Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Геометрический смысл двойного интеграла при f(x;y) >= 0
СообщениеДобавлено: 19 ноя 2020, 14:53 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
17 авг 2019, 18:32
Сообщений: 106
Cпасибо сказано: 82
Спасибо получено:
3 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Геометрический смысл двойного интеграла по сути это интегральная сумма объемов цилиндров построенных в некоторой области D. Тогда получаем объем некоторого тела. В связи с этим есть несколько вопросов.

1) Двойной интеграл вычисляется как повторный интеграл и при этом при f(x;y) >= 0 двойной интеграл есть объем некоторого тела. При этом к такому заключению приходят следующим образом:
- проводится сечение перпендикулярное оси икс, площадь которого вычисляется как интеграл в виде функции S(x)
- далее S(x) который является интегралом подставляется в интеграл от S(x)*dx и получается двойной интеграл

При таком раскладе получается что S(x) это есть основание тех тел из которых состоит основное тело. Тогда если рассматривать интеграл от S(x)*dx где S(x) в свою очередь является интегралом, то по сути в смысле объема мы складываем объемы многих тел с овнованием S(x) и высотой dx.

В этом моменте у меня проблема с пониманием. Когда сечение тела является кругом или многоугольником то я понимаю что в итоге выходит сумма объемов маленьких цилиндров или призм, Но вот когда основание S(x) является криполинейной трапецией то мне не понятно почему при множестве подобных сечений полученные тела с основанием в виде криволинейной трапеции объем тоже считается как S(x)*dx. Ведь полученные маленькие внутренние тела (внутри основного) не являются ни цилиндром ни призмой. Соответственно их объем не равен S(x)*dx. Но преподносится это так будто объем таких тел все равно можно считать как S(x)*dx хотя эти тела с основаниями в виде криволинейной трапеции не являются ни призмой ни цилиндром.

Прикрепляю скриншоты из книги на всякий случай.
Изображение
Как видно здесь сечение вовсе не образует цилиндр или призму. То есть если сечений будет много как вот здесь:
В итоге мне не совсем понятно каким образом тогда запись двойного интеграла для такого случая можно считать объемом.
Причем автор ссылается на главу X||, где принцип разбиения на маленькие тела отличается от того что демонстрируется на рисунке.
На рисуке тело находится в вертикальном положении а в главе на которую он ссылается тело находится в горизонтальном положении относительно оси икс. То есть так:
Изображение
вот тут внутренние тела это маленькие цилиндры и их объемы можно брать за S(x)*dx.
А в предыдущем случае что за тела получаются в результате сечений мне не понятно и почему их объемы можно считать как S(x)*dx мне тоже не понятно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Геометрический смысл двойного интеграла при f(x;y) >= 0
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2020, 17:42 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 янв 2020, 18:36
Сообщений: 336
Откуда: Cambridge
Cпасибо сказано: 105
Спасибо получено:
87 раз в 85 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathematic_x
Чо за книжка? Я бы почитал.

Похоже на Фихтенгольца

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Геометрический смысл двойного интеграла при f(x;y) >= 0
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2020, 18:00 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 1947
Cпасибо сказано: 26
Спасибо получено:
390 раз в 362 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Elphen Lied писал(а):
Чо за книжка? Я бы почитал.

Достаточно прочитать автора внизу первого скриншота - Пискунов
На мехмате запрещен к прочтению, только после окончания)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали:
Elphen Lied
 Заголовок сообщения: Re: Геометрический смысл двойного интеграла при f(x;y) >= 0
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2020, 18:31 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 323
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
94 раз в 91 сообщениях
Очков репутации: 77

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathematic_x,
Вам понятно что все эти S(x) - подобные, но разные площи (понятно, что они зависят от x)?
Предел их сумму в произведения по dx и дает искомы обем V!
Если "разрезать" тела на кусочки плоскостям паралельные xOz то получим сечения [math]S_{1}(y)[/math](понятно, что они зависят от y)?
Предел их сумму в произведения по dy дает тоже обем V!

В математическом анализе, абстрактное мышления в сочетания с понимания что стает когда совершается предельный переход - очень важно!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Pirinchily "Спасибо" сказали:
mathematic_x
 Заголовок сообщения: Re: Геометрический смысл двойного интеграла при f(x;y) >= 0
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2020, 18:40 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 мар 2016, 21:20
Сообщений: 197
Откуда: Казань
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathematic_x писал(а):
Геометрический смысл двойного интеграла по сути это интегральная сумма объемов цилиндров построенных в некоторой области D. Тогда получаем объем некоторого тела. В связи с этим есть несколько вопросов.

1) Двойной интеграл вычисляется как повторный интеграл и при этом при f(x;y) >= 0 двойной интеграл есть объем некоторого тела. При этом к такому заключению приходят следующим образом:
- проводится сечение перпендикулярное оси икс, площадь которого вычисляется как интеграл в виде функции S(x)
- далее S(x) который является интегралом подставляется в интеграл от S(x)*dx и получается двойной интеграл

При таком раскладе получается что S(x) это есть основание тех тел из которых состоит основное тело. Тогда если рассматривать интеграл от S(x)*dx где S(x) в свою очередь является интегралом, то по сути в смысле объема мы складываем объемы многих тел с овнованием S(x) и высотой dx.

В этом моменте у меня проблема с пониманием. Когда сечение тела является кругом или многоугольником то я понимаю что в итоге выходит сумма объемов маленьких цилиндров или призм, Но вот когда основание S(x) является криполинейной трапецией то мне не понятно почему при множестве подобных сечений полученные тела с основанием в виде криволинейной трапеции объем тоже считается как S(x)*dx. Ведь полученные маленькие внутренние тела (внутри основного) не являются ни цилиндром ни призмой. Соответственно их объем не равен S(x)*dx. Но преподносится это так будто объем таких тел все равно можно считать как S(x)*dx хотя эти тела с основаниями в виде криволинейной трапеции не являются ни призмой ни цилиндром.

Прикрепляю скриншоты из книги на всякий случай.
Изображение
Как видно здесь сечение вовсе не образует цилиндр или призму. То есть если сечений будет много как вот здесь:
В итоге мне не совсем понятно каким образом тогда запись двойного интеграла для такого случая можно считать объемом.
Причем автор ссылается на главу X||, где принцип разбиения на маленькие тела отличается от того что демонстрируется на рисунке.
На рисуке тело находится в вертикальном положении а в главе на которую он ссылается тело находится в горизонтальном положении относительно оси икс. То есть так:
Изображение
вот тут внутренние тела это маленькие цилиндры и их объемы можно брать за S(x)*dx.
А в предыдущем случае что за тела получаются в результате сечений мне не понятно и почему их объемы можно считать как S(x)*dx мне тоже не понятно

Могу ошибаться но в таком случае S(x) это функция, которая будет изменяться от сечения к сечению по определенному закону. при [math]\triangle x[/math] стремящимся к нулю сумма всех таких оснований и будет представлять искомый обьем. просто потому что изначально сечения и делили этот обьем на слои .
и тут не важно,горизонтально или вертикально проводить эти сечения

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Геометрический смысл двойного интеграла при f(x;y) >= 0
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2020, 18:51 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 323
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
94 раз в 91 сообщениях
Очков репутации: 77

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
God_mode_2016 писал(а):
Могу ошибаться но в таком случае S(x) это функция, которая будет изменяться от сечения к сечению по определенному закону. при △x
стремящимся к нулю сумма всех таких оснований и будет представлять искомый обьем. просто потому что изначально сечения и делили этот обьем на слои .
и тут не важно,горизонтально или вертикально проводить эти сечения

Все правильно поняли! Молодец! :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Геометрический смысл двойного интеграла при f(x;y) >= 0
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2020, 19:06 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
17 авг 2019, 18:32
Сообщений: 106
Cпасибо сказано: 82
Спасибо получено:
3 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pirinchily писал(а):
Вам понятно что все эти S(x) - подобные, но разные площи (понятно, что они зависят от x)?

Да
Pirinchily писал(а):
Если "разрезать" тела на кусочки плоскостям паралельные xOz то получим сечения S1(y)
(понятно, что они зависят от y)?

Да. Это тоже понятно :)
Pirinchily писал(а):
Предел их сумму в произведения по dx и дает искомы обем V!

Вот здесь то вся проблема в понимании. Я с этим не до конца согласен.
В чем идея вычисления объема подобным образом? Насколько я понимаю, в складывании объемов мелких цилиндров которые получаются между сечениями. Именно по этой причине мы можем объем каждого такого мелкого цилиндра воспринимать как S(x)*dx а их сумму как общий объем.
Затык именно в том, что ведь если взять два сечения как на картинке выше то мы получим фигуру основания которой это криволинейные трапеции. Разве такую фигуру можно назвать цилиндром? Что-то не похоже. Значит и объем этих маленьких цилиндриков мы не можем вычислять как S(x)*dx. Когда у нас в сечении круги то мне понятно - два сечения рядом дают маленький цилиндр. Его объем можно считать как S(x)*dx. А если в основаниях кляксы - то не знаю можно ли их объем считать как S(x)*dx, А в данном случае в основаниях не круг и не многоугольник а как раз клякса.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Геометрический смысл двойного интеграла при f(x;y) >= 0
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2020, 19:30 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 мар 2016, 21:20
Сообщений: 197
Откуда: Казань
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathematic_x писал(а):
Pirinchily писал(а):
Вам понятно что все эти S(x) - подобные, но разные площи (понятно, что они зависят от x)?

Да
Pirinchily писал(а):
Если "разрезать" тела на кусочки плоскостям паралельные xOz то получим сечения S1(y)
(понятно, что они зависят от y)?

Да. Это тоже понятно :)
Pirinchily писал(а):
Предел их сумму в произведения по dx и дает искомы обем V!

Вот здесь то вся проблема в понимании. Я с этим не до конца согласен.
В чем идея вычисления объема подобным образом? Насколько я понимаю, в складывании объемов мелких цилиндров которые получаются между сечениями. Именно по этой причине мы можем объем каждого такого мелкого цилиндра воспринимать как S(x)*dx а их сумму как общий объем.
Затык именно в том, что ведь если взять два сечения как на картинке выше то мы получим фигуру основания которой это криволинейные трапеции. Разве такую фигуру можно назвать цилиндром? Что-то не похоже. Значит и объем этих маленьких цилиндриков мы не можем вычислять как S(x)*dx. Когда у нас в сечении круги то мне понятно - два сечения рядом дают маленький цилиндр. Его объем можно считать как S(x)*dx. А если в основаниях кляксы - то не знаю можно ли их объем считать как S(x)*dx, А в данном случае в основаниях не круг и не многоугольник а как раз клякса.

можно называть цилиндром..
поищите инфу про цилиндры и их образующие линии. это не обязательно круг

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю God_mode_2016 "Спасибо" сказали:
mathematic_x
 Заголовок сообщения: Re: Геометрический смысл двойного интеграла при f(x;y) >= 0
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2020, 19:55 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
05 фев 2020, 14:19
Сообщений: 643
Cпасибо сказано: 126
Спасибо получено:
28 раз в 25 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MihailM писал(а):
Elphen Lied писал(а):
Чо за книжка? Я бы почитал.

Достаточно прочитать автора внизу первого скриншота - Пискунов
На мехмате запрещен к прочтению, только после окончания)

Почему запрещен? :D1
Чтобы не привыкали к человеческому языку?)) Пискунов пишет для технарей, а не для математиков, соответственно более понятно простому смертному.


Последний раз редактировалось Andrey82 21 ноя 2020, 20:19, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andrey82 "Спасибо" сказали:
Elphen Lied
 Заголовок сообщения: Re: Геометрический смысл двойного интеграла при f(x;y) >= 0
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2020, 20:03 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
05 фев 2020, 14:19
Сообщений: 643
Cпасибо сказано: 126
Спасибо получено:
28 раз в 25 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathematic_x писал(а):
Pirinchily писал(а):
Вам понятно что все эти S(x) - подобные, но разные площи (понятно, что они зависят от x)?

Да
Pirinchily писал(а):
Если "разрезать" тела на кусочки плоскостям паралельные xOz то получим сечения S1(y)
(понятно, что они зависят от y)?

Да. Это тоже понятно :)
Pirinchily писал(а):
Предел их сумму в произведения по dx и дает искомы обем V!

Вот здесь то вся проблема в понимании. Я с этим не до конца согласен.
В чем идея вычисления объема подобным образом? Насколько я понимаю, в складывании объемов мелких цилиндров которые получаются между сечениями. Именно по этой причине мы можем объем каждого такого мелкого цилиндра воспринимать как S(x)*dx а их сумму как общий объем.
Затык именно в том, что ведь если взять два сечения как на картинке выше то мы получим фигуру основания которой это криволинейные трапеции. Разве такую фигуру можно назвать цилиндром? Что-то не похоже. Значит и объем этих маленьких цилиндриков мы не можем вычислять как S(x)*dx. Когда у нас в сечении круги то мне понятно - два сечения рядом дают маленький цилиндр. Его объем можно считать как S(x)*dx. А если в основаниях кляксы - то не знаю можно ли их объем считать как S(x)*dx, А в данном случае в основаниях не круг и не многоугольник а как раз клякса.

Вы просто под цилиндром подразумеваете прямой круговой цилиндр, видимо. Вы уже поняли, что цилиндры бывают разных типов.
Эта самая [math]S(x)[/math] может и не быть площадью круга, а площадью какой угодно фигуры.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andrey82 "Спасибо" сказали:
mathematic_x
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 17 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Геометрический смысл ОПр интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Nelo

1

218

12 июн 2014, 21:09

Геометрический смысл определенного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Norm

3

448

14 окт 2013, 10:53

Геометрический смысл определенного интеграла

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

den111

1

413

11 июн 2013, 17:15

Вычислить геометрический смысл соотношений

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

1nsayt

1

966

01 дек 2013, 22:11

Вычислить геометрический смысл соотношений

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Emma_panaewa

1

1222

17 окт 2015, 23:56

Геометрический смысл предела последовательности

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Vantabu

2

245

05 мар 2019, 21:55

Геометрический смысл производной второго порядка

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Steff

1

127

25 июн 2020, 14:41

Задачи на физический и геометрический смысл производной

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

rodion-hamster18

6

621

06 дек 2012, 05:15

Геометрический смысл второй частной производной

в форуме Дифференциальное исчисление

HitGirl

6

129

10 мар 2020, 11:22

Геометрический смысл сопряженных линейных операторов?

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

achainlink

1

66

15 ноя 2020, 21:09


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved