Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Полиномы Эрмита
СообщениеДобавлено: 01 июл 2011, 10:18 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1752
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 130
Спасибо получено:
595 раз в 479 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот мой второй вопрос. Я хочу посчитать интеграл:
[math]\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{e}^{ikx}\operatorname{e}^{-x^2}H_{n}(x)H_{m}(x)dx[/math]
где
[math]H_{n}(x)=(-1)^{n}\operatorname{e}^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\operatorname{e}^{-x^2}[/math]-полиномы Эрмита
Как я только не пытался посчитать этот интеграл, неполучалось. Пробывал через представление рядом полиномов [math]H_n(x)=\sum_{k=0}^nC_kx^k[/math] получается посчитать, только ответ совсем не красивый получается. Т. е. интеграл получается в виде:
[math]\sum_{l=0}^n\sum_{j=0}^mC_jC_l\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{e}^{ikx}\operatorname{e}^{-x^2}x^{j+l}dx=\sum_{l=0}^n\sum_{i=0}^mC_jC_li^{-(j+l)}\frac{d^{j+l}}{dk^{j+l}}\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{e}^{ikx}\operatorname{e}^{-x^2}dx=\sum_{l=0}^n\sum_{i=0}^mC_jC_li^{-(j+l)}\frac{d^{j+l}}{dk^{j+l}}\left(\sqrt{\pi}\operatorname{e}^{-\frac{k^2}{4}}\right)[/math]
Пробовал дальше упрощать, тоже ничего хорошего не получается. Ответ очень большой и совсем не потребный. Может кто подскажет как по проще его посчитать? Или литературу какую нибудь посоветуете, где это можно посмотреть? В тех справочниках по спец функциям которые у меня есть не приводится похожего интеграла.
Спасибо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полиномы Эрмита
СообщениеДобавлено: 01 июл 2011, 12:30 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 16:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А верхняя полуплоскость и вычеты Вам помочь не в силах?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полиномы Эрмита
СообщениеДобавлено: 04 июл 2011, 10:18 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1752
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 130
Спасибо получено:
595 раз в 479 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
arkadiikirsanov писал(а):
А верхняя полуплоскость и вычеты Вам помочь не в силах?

Если я не ошибаюсь то вычеты не в силах помочь. Ибо на бесконечной дуге в верхней полуплоскости подинтегральная функция в ноль не обращается:
[math]\operatorname{e}^{-(x+iy)^2}=\operatorname{e}^{-x^2+y^2}(\cos{2xy}-i\sin{2xy})[/math]
и при [math]x[/math] конечном, а [math]y=\infty[/math] значение вообще говоря не определено.
Или я что то забыл...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полиномы Эрмита
СообщениеДобавлено: 04 июл 2011, 17:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возможно, в каком-нибудь справочнике есть нужная формула. Главное знать, для чего считать эти интегралы (часто бывает не нужно). Способов много, например, с помощью производящей функции
[math]e^{2xz - z^2 } = \sum\limits_{n = 0}^\infty {H_n \left( x \right)\frac{{z^n }}{{n!}}}[/math]
[math]e^{2xw - w^2 } = \sum\limits_{m = 0}^\infty {H_m \left( x \right)\frac{{w^m }}{{m!}}}[/math]
Тогда
[math]I\left({z,w} \right)=\int\limits_{ - \infty }^\infty {e^{ikx +2xz+2xw- z^2 - w^2 - x^2 }dx} =\sum\limits_{n,m = 0}^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {e^{ikx - x^2 } H_n \left( x \right)H_m \left( x \right)dx} } \frac{{z^n }}{{n!}}\frac{{w^m }}{{m!}}[/math]
Интеграл слева легко вычисляется. Потом надо немного повозиться при вычислении производной
[math]\left.{\frac{{\partial ^{n+m}I\left({z,w}\right)}}{{\partial z^n\partial w^m}}}\right|_{z=0,w= 0}[/math]

P.S. Вроде даже получается удобоваримое. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
lexus666, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Полиномы Эрмита
СообщениеДобавлено: 05 июл 2011, 11:07 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1752
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 130
Спасибо получено:
595 раз в 479 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop спасибо огромное!!!!
Я даже и не думал, что с такого боку можно подойти. И действительно вроде получается очень даже не плохой ответ :Yahoo!: !
Тогда еще такой вопрос, какие другие методы вычисления есть?
Еще раз спасибо большое!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Полином Эрмита

в форуме Объявления участников Форума

Evelina_

3

270

04 дек 2022, 19:22

Полиномы

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

art25685

12

737

11 июл 2016, 17:59

Разложение функции в полиномы

в форуме Ряды

marinaqwert

6

1094

12 янв 2018, 22:18

Полиномы Чебышева-Лагерра

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Nevereth

5

749

19 дек 2015, 23:20

Поделить многочлены(полиномы) между собой

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Padawan

10

560

22 янв 2018, 20:07

Интерполяция, полиномы Лагранжа в паскале. Недочет в коде

в форуме Численные методы

Nichtswisser

0

1312

21 апр 2014, 23:57

Связанные полиномы четвёртой степени - полные квадраты

в форуме Теория чисел

3axap

2

228

17 ноя 2020, 13:11


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 21


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved