Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
lexus666 |
|
|
[math]\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{e}^{ikx}\operatorname{e}^{-x^2}H_{n}(x)H_{m}(x)dx[/math] где [math]H_{n}(x)=(-1)^{n}\operatorname{e}^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\operatorname{e}^{-x^2}[/math]-полиномы Эрмита Как я только не пытался посчитать этот интеграл, неполучалось. Пробывал через представление рядом полиномов [math]H_n(x)=\sum_{k=0}^nC_kx^k[/math] получается посчитать, только ответ совсем не красивый получается. Т. е. интеграл получается в виде: [math]\sum_{l=0}^n\sum_{j=0}^mC_jC_l\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{e}^{ikx}\operatorname{e}^{-x^2}x^{j+l}dx=\sum_{l=0}^n\sum_{i=0}^mC_jC_li^{-(j+l)}\frac{d^{j+l}}{dk^{j+l}}\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{e}^{ikx}\operatorname{e}^{-x^2}dx=\sum_{l=0}^n\sum_{i=0}^mC_jC_li^{-(j+l)}\frac{d^{j+l}}{dk^{j+l}}\left(\sqrt{\pi}\operatorname{e}^{-\frac{k^2}{4}}\right)[/math] Пробовал дальше упрощать, тоже ничего хорошего не получается. Ответ очень большой и совсем не потребный. Может кто подскажет как по проще его посчитать? Или литературу какую нибудь посоветуете, где это можно посмотреть? В тех справочниках по спец функциям которые у меня есть не приводится похожего интеграла. Спасибо |
||
Вернуться к началу | ||
arkadiikirsanov |
|
|
А верхняя полуплоскость и вычеты Вам помочь не в силах?
|
||
Вернуться к началу | ||
lexus666 |
|
|
arkadiikirsanov писал(а): А верхняя полуплоскость и вычеты Вам помочь не в силах? Если я не ошибаюсь то вычеты не в силах помочь. Ибо на бесконечной дуге в верхней полуплоскости подинтегральная функция в ноль не обращается: [math]\operatorname{e}^{-(x+iy)^2}=\operatorname{e}^{-x^2+y^2}(\cos{2xy}-i\sin{2xy})[/math] и при [math]x[/math] конечном, а [math]y=\infty[/math] значение вообще говоря не определено. Или я что то забыл... |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Возможно, в каком-нибудь справочнике есть нужная формула. Главное знать, для чего считать эти интегралы (часто бывает не нужно). Способов много, например, с помощью производящей функции
[math]e^{2xz - z^2 } = \sum\limits_{n = 0}^\infty {H_n \left( x \right)\frac{{z^n }}{{n!}}}[/math] [math]e^{2xw - w^2 } = \sum\limits_{m = 0}^\infty {H_m \left( x \right)\frac{{w^m }}{{m!}}}[/math] Тогда [math]I\left({z,w} \right)=\int\limits_{ - \infty }^\infty {e^{ikx +2xz+2xw- z^2 - w^2 - x^2 }dx} =\sum\limits_{n,m = 0}^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {e^{ikx - x^2 } H_n \left( x \right)H_m \left( x \right)dx} } \frac{{z^n }}{{n!}}\frac{{w^m }}{{m!}}[/math] Интеграл слева легко вычисляется. Потом надо немного повозиться при вычислении производной [math]\left.{\frac{{\partial ^{n+m}I\left({z,w}\right)}}{{\partial z^n\partial w^m}}}\right|_{z=0,w= 0}[/math] P.S. Вроде даже получается удобоваримое. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: lexus666, mad_math |
||
lexus666 |
|
|
Prokop спасибо огромное!!!!
Я даже и не думал, что с такого боку можно подойти. И действительно вроде получается очень даже не плохой ответ ! Тогда еще такой вопрос, какие другие методы вычисления есть? Еще раз спасибо большое! |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 5 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Полином Эрмита
в форуме Объявления участников Форума |
3 |
270 |
04 дек 2022, 19:22 |
|
Полиномы | 12 |
737 |
11 июл 2016, 17:59 |
|
Разложение функции в полиномы
в форуме Ряды |
6 |
1094 |
12 янв 2018, 22:18 |
|
Полиномы Чебышева-Лагерра
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
5 |
749 |
19 дек 2015, 23:20 |
|
Поделить многочлены(полиномы) между собой
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
10 |
560 |
22 янв 2018, 20:07 |
|
Интерполяция, полиномы Лагранжа в паскале. Недочет в коде
в форуме Численные методы |
0 |
1312 |
21 апр 2014, 23:57 |
|
Связанные полиномы четвёртой степени - полные квадраты
в форуме Теория чисел |
2 |
228 |
17 ноя 2020, 13:11 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 21 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |