Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 14 янв 2020, 08:03 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 768
Cпасибо сказано: 178
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
Подскажите, пожалуйста, как изящней "взять" интегралы (чтобы не очень громоздкое решение было):

1) [math]\quad[/math] [math]\int \frac{ dx }{ x^{4}+1 }[/math]

2) [math]\quad[/math] [math]\int \frac{ dx }{ x^{4}+x^{2}+ 1 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 14 янв 2020, 08:27 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 20115
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1601
Спасибо получено:
4272 раз в 3983 сообщениях
Очков репутации: 758

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если для вычисления первого интеграла применить метод неопределённых коэффициентов, то получается громоздкое решение, что, по-моему, не свидетельствует о том, что это решение плохое. Также можно воспользоваться тем, что
[math]\int \frac{\operatorname{d}x}{x^4+1}=\frac{1}{2} \left( \int \frac{x^2+1}{x^4+1} \operatorname{d}x-\int \frac{x^2-1}{x^4+1} \operatorname{d}x \right).[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 14 янв 2020, 11:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
703 раз в 678 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1)[math]\int \frac{ dx }{ x^4+1 } = \frac{ 1 }{ 4\sqrt{2} } \cdot \ln{\frac{ 1+\sqrt{2}x+x^2 }{ 1-\sqrt{2}x+x^2 } } + \frac{ 1 }{ 2\sqrt{2} } \cdot \operatorname{arctg}\frac{ \sqrt{2}x }{ 1-x^2 } +C[/math]

"Кажды интеграл можно взять на одну строку - только надо уцелить субституцию!" - говорил академик Никола Обрешков.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 15 янв 2020, 10:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 20115
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1601
Спасибо получено:
4272 раз в 3983 сообщениях
Очков репутации: 758

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w
Сообщите, пожалуйста, удалось ли Вам вычислить первый интеграл, применив метод неопределённых коэффициентов, и "изящно".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 15 янв 2020, 10:52 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 16:58
Сообщений: 1856
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
369 раз в 360 сообщениях
Очков репутации: 109

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
2) Сначала я бы разложил знаменатель на множители: [math]x^{4} + x^{2}+ 1 = (x^{2}+1 )^{2}- x^{2} = (x^{2}-x+1 )(x^{2}+x+1)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 15 янв 2020, 22:17 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 768
Cпасибо сказано: 178
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
351w
Сообщите, пожалуйста, удалось ли Вам вычислить первый интеграл, применив метод неопределённых коэффициентов, и "изящно".


Вот моё решение:

Изображение
Изображение
Изображение
Изображение
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 15 янв 2020, 22:19 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 768
Cпасибо сказано: 178
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Radley писал(а):
2) Сначала я бы разложил знаменатель на множители: [math]x^{4} + x^{2}+ 1 = (x^{2}+1 )^{2}- x^{2} = (x^{2}-x+1 )(x^{2}+x+1)[/math]


Так и сделал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 16 янв 2020, 06:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 20115
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1601
Спасибо получено:
4272 раз в 3983 сообщениях
Очков репутации: 758

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w
Нет необходимости приводить полное решение. А "изящно" вычислить первый интеграл Вам удалось? Я давал Вам подсказку.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 16 янв 2020, 08:04 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 768
Cпасибо сказано: 178
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
351w
Нет необходимости приводить полное решение. А "изящно" вычислить первый интеграл Вам удалось? Я давал Вам подсказку.


Ели честно - "руки не дошли" (если Вы про разложение заданного интеграла на два других). Обязательно гляну....

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 16 янв 2020, 08:59 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 20115
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1601
Спасибо получено:
4272 раз в 3983 сообщениях
Очков репутации: 758

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w
351w писал(а):
Ели честно - "руки не дошли"

Это странно, если учесть, что Вас интересовало именно "изящное" решение. Ведь несмотря на громоздкость, сам по себе интеграл берётся без проблем.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

madam9707

2

152

10 июн 2014, 15:39

Интегралы неопределенные

в форуме Интегральное исчисление

Kroos

1

268

07 июн 2013, 16:15

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

mushka

2

207

20 ноя 2011, 17:29

Интегралы неопределенные

в форуме Интегральное исчисление

eraety

6

278

30 май 2013, 13:43

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

ManOfSky

10

395

03 июн 2015, 22:56

Неопределённые интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Alexanext

1

230

30 ноя 2011, 09:55

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Arina_Bunakova

1

274

11 дек 2011, 18:33

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

vinnipuh

1

246

28 май 2013, 23:11

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Sabiko

6

402

18 дек 2011, 11:45

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Dorani77

4

169

08 апр 2016, 21:25


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved