Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 14 янв 2020, 08:03 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 707
Cпасибо сказано: 153
Спасибо получено:
14 раз в 14 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
Подскажите, пожалуйста, как изящней "взять" интегралы (чтобы не очень громоздкое решение было):

1) [math]\quad[/math] [math]\int \frac{ dx }{ x^{4}+1 }[/math]

2) [math]\quad[/math] [math]\int \frac{ dx }{ x^{4}+x^{2}+ 1 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 14 янв 2020, 08:27 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 19087
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1387
Спасибо получено:
4049 раз в 3764 сообщениях
Очков репутации: 735

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если для вычисления первого интеграла применить метод неопределённых коэффициентов, то получается громоздкое решение, что, по-моему, не свидетельствует о том, что это решение плохое. Также можно воспользоваться тем, что
[math]\int \frac{\operatorname{d}x}{x^4+1}=\frac{1}{2} \left( \int \frac{x^2+1}{x^4+1} \operatorname{d}x-\int \frac{x^2-1}{x^4+1} \operatorname{d}x \right).[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 14 янв 2020, 11:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2058
Cпасибо сказано: 71
Спасибо получено:
624 раз в 601 сообщениях
Очков репутации: 189

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1)[math]\int \frac{ dx }{ x^4+1 } = \frac{ 1 }{ 4\sqrt{2} } \cdot \ln{\frac{ 1+\sqrt{2}x+x^2 }{ 1-\sqrt{2}x+x^2 } } + \frac{ 1 }{ 2\sqrt{2} } \cdot \operatorname{arctg}\frac{ \sqrt{2}x }{ 1-x^2 } +C[/math]

"Кажды интеграл можно взять на одну строку - только надо уцелить субституцию!" - говорил академик Никола Обрешков.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 15 янв 2020, 10:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 19087
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1387
Спасибо получено:
4049 раз в 3764 сообщениях
Очков репутации: 735

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w
Сообщите, пожалуйста, удалось ли Вам вычислить первый интеграл, применив метод неопределённых коэффициентов, и "изящно".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 15 янв 2020, 10:52 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 16:58
Сообщений: 1822
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
356 раз в 348 сообщениях
Очков репутации: 108

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
2) Сначала я бы разложил знаменатель на множители: [math]x^{4} + x^{2}+ 1 = (x^{2}+1 )^{2}- x^{2} = (x^{2}-x+1 )(x^{2}+x+1)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 15 янв 2020, 22:17 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 707
Cпасибо сказано: 153
Спасибо получено:
14 раз в 14 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
351w
Сообщите, пожалуйста, удалось ли Вам вычислить первый интеграл, применив метод неопределённых коэффициентов, и "изящно".


Вот моё решение:

Изображение
Изображение
Изображение
Изображение
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 15 янв 2020, 22:19 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 707
Cпасибо сказано: 153
Спасибо получено:
14 раз в 14 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Radley писал(а):
2) Сначала я бы разложил знаменатель на множители: [math]x^{4} + x^{2}+ 1 = (x^{2}+1 )^{2}- x^{2} = (x^{2}-x+1 )(x^{2}+x+1)[/math]


Так и сделал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 16 янв 2020, 06:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 19087
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1387
Спасибо получено:
4049 раз в 3764 сообщениях
Очков репутации: 735

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w
Нет необходимости приводить полное решение. А "изящно" вычислить первый интеграл Вам удалось? Я давал Вам подсказку.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 16 янв 2020, 08:04 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 707
Cпасибо сказано: 153
Спасибо получено:
14 раз в 14 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
351w
Нет необходимости приводить полное решение. А "изящно" вычислить первый интеграл Вам удалось? Я давал Вам подсказку.


Ели честно - "руки не дошли" (если Вы про разложение заданного интеграла на два других). Обязательно гляну....

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 16 янв 2020, 08:59 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 19087
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1387
Спасибо получено:
4049 раз в 3764 сообщениях
Очков репутации: 735

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w
351w писал(а):
Ели честно - "руки не дошли"

Это странно, если учесть, что Вас интересовало именно "изящное" решение. Ведь несмотря на громоздкость, сам по себе интеграл берётся без проблем.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Неопределённые интегралы

в форуме Интегральное исчисление

TAHI0LLIKA

5

296

25 дек 2011, 09:33

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Irishka09

1

147

10 дек 2014, 20:42

неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

sweetregi

7

317

20 мар 2012, 20:41

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

inter

1

210

28 мар 2012, 19:24

Неопределённые интегралы

в форуме Интегральное исчисление

xumuk

1

203

09 дек 2014, 20:19

неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Anastasia-

1

203

07 апр 2012, 12:25

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

CaHCaHbl4

49

2309

08 апр 2012, 23:15

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Krivda

1

168

03 дек 2014, 00:34

Неопределённые интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Demalkur

6

415

22 апр 2012, 00:30

Неопределённые интегралы

в форуме Интегральное исчисление

kopaneta

9

381

22 апр 2012, 22:00


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved