Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 14 янв 2020, 08:03 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
Подскажите, пожалуйста, как изящней "взять" интегралы (чтобы не очень громоздкое решение было):

1) [math]\quad[/math] [math]\int \frac{ dx }{ x^{4}+1 }[/math]

2) [math]\quad[/math] [math]\int \frac{ dx }{ x^{4}+x^{2}+ 1 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 14 янв 2020, 08:27 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если для вычисления первого интеграла применить метод неопределённых коэффициентов, то получается громоздкое решение, что, по-моему, не свидетельствует о том, что это решение плохое. Также можно воспользоваться тем, что
[math]\int \frac{\operatorname{d}x}{x^4+1}=\frac{1}{2} \left( \int \frac{x^2+1}{x^4+1} \operatorname{d}x-\int \frac{x^2-1}{x^4+1} \operatorname{d}x \right).[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 14 янв 2020, 11:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1)[math]\int \frac{ dx }{ x^4+1 } = \frac{ 1 }{ 4\sqrt{2} } \cdot \ln{\frac{ 1+\sqrt{2}x+x^2 }{ 1-\sqrt{2}x+x^2 } } + \frac{ 1 }{ 2\sqrt{2} } \cdot \operatorname{arctg}\frac{ \sqrt{2}x }{ 1-x^2 } +C[/math]

"Кажды интеграл можно взять на одну строку - только надо уцелить субституцию!" - говорил академик Никола Обрешков.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 15 янв 2020, 10:04 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w
Сообщите, пожалуйста, удалось ли Вам вычислить первый интеграл, применив метод неопределённых коэффициентов, и "изящно".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 15 янв 2020, 10:52 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 16:58
Сообщений: 2657
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
538 раз в 525 сообщениях
Очков репутации: 120

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
2) Сначала я бы разложил знаменатель на множители: [math]x^{4} + x^{2}+ 1 = (x^{2}+1 )^{2}- x^{2} = (x^{2}-x+1 )(x^{2}+x+1)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 15 янв 2020, 22:17 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
351w
Сообщите, пожалуйста, удалось ли Вам вычислить первый интеграл, применив метод неопределённых коэффициентов, и "изящно".


Вот моё решение:

Изображение
Изображение
Изображение
Изображение
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 15 янв 2020, 22:19 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Radley писал(а):
2) Сначала я бы разложил знаменатель на множители: [math]x^{4} + x^{2}+ 1 = (x^{2}+1 )^{2}- x^{2} = (x^{2}-x+1 )(x^{2}+x+1)[/math]


Так и сделал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 16 янв 2020, 06:56 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w
Нет необходимости приводить полное решение. А "изящно" вычислить первый интеграл Вам удалось? Я давал Вам подсказку.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 16 янв 2020, 08:04 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
351w
Нет необходимости приводить полное решение. А "изящно" вычислить первый интеграл Вам удалось? Я давал Вам подсказку.


Ели честно - "руки не дошли" (если Вы про разложение заданного интеграла на два других). Обязательно гляну....

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 16 янв 2020, 08:59 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w
351w писал(а):
Ели честно - "руки не дошли"

Это странно, если учесть, что Вас интересовало именно "изящное" решение. Ведь несмотря на громоздкость, сам по себе интеграл берётся без проблем.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

SheLdeR_856

2

280

06 май 2018, 15:49

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Irishka09

1

257

10 дек 2014, 20:42

Неопределённые интегралы

в форуме Интегральное исчисление

xumuk

1

301

09 дек 2014, 20:19

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Krivda

1

232

03 дек 2014, 00:34

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

lllulll

2

328

26 сен 2014, 19:44

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

axed659

1

208

04 фев 2019, 14:35

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

ManOfSky

10

562

03 июн 2015, 22:56

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

madam9707

2

316

10 июн 2014, 15:39

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Sayxys

2

318

16 фев 2015, 21:19

Неопределённые интегралы

в форуме Интегральное исчисление

qwertylj

1

239

24 дек 2016, 16:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved