Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Производная от двойного интеграла
СообщениеДобавлено: 08 янв 2020, 04:41 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 2948
Cпасибо сказано: 464
Спасибо получено:
846 раз в 727 сообщениях
Очков репутации: 139

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Чтобы подсказывать как быть дальше, надо убедиться, что до этого места нет ошибок. То есть все-таки проделывать выкладки. От чего отказывался.

Посмотрите вывод формулы Даламбера для одномерного волнового уравнения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали:
math1love
 Заголовок сообщения: Re: Производная от двойного интеграла
СообщениеДобавлено: 08 янв 2020, 14:52 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 2948
Cпасибо сказано: 464
Спасибо получено:
846 раз в 727 сообщениях
Очков репутации: 139

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
math1love писал(а):
venjar, можете подсказать, как быть дальше?
У меня вышло
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac12\int\limits_0^x\bigl(f'_x(\xi, x+y-\xi)-f'_x(\xi, \xi-x+y)\bigr)\,d\xi+f(x, y)[/math]
и
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac12\int\limits_0^x\bigl(f'_y(\xi, x+y-\xi)-f'_y(\xi, \xi-x+y)\bigr)\,d\xi[/math]
По идее их разность и должна давать заветную [math]f(x, y)[/math], но из-за дифференцирования по разным переменном не выходит...

Все нормально выходит.
У меня получилось
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac12\int\limits_0^x\bigl(f'_y(\xi, x+y-\xi)-f'_y(\xi, \xi-x+y)\bigr)\,d\xi+f(x, y)[/math]
и
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac12\int\limits_0^x\bigl(f'_y(\xi, x+y-\xi)-f'_y(\xi, \xi-x+y)\bigr)\,d\xi[/math].

Проверьте. Если не получится, попробую выслать скан моего решения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали:
math1love
 Заголовок сообщения: Re: Производная от двойного интеграла
СообщениеДобавлено: 08 янв 2020, 14:59 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar писал(а):
math1love писал(а):
venjar, можете подсказать, как быть дальше?
У меня вышло
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac12\int\limits_0^x\bigl(f'_x(\xi, x+y-\xi)-f'_x(\xi, \xi-x+y)\bigr)\,d\xi+f(x, y)[/math]
и
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac12\int\limits_0^x\bigl(f'_y(\xi, x+y-\xi)-f'_y(\xi, \xi-x+y)\bigr)\,d\xi[/math]
По идее их разность и должна давать заветную [math]f(x, y)[/math], но из-за дифференцирования по разным переменном не выходит...

Все нормально выходит.
У меня получилось
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac12\int\limits_0^x\bigl(f'_y(\xi, x+y-\xi)-f'_y(\xi, \xi-x+y)\bigr)\,d\xi+f(x, y)[/math]
и
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac12\int\limits_0^x\bigl(f'_y(\xi, x+y-\xi)-f'_y(\xi, \xi-x+y)\bigr)\,d\xi[/math].

Проверьте. Если не получится, попробую выслать скан моего решения.

А почему у вас в [math]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/math] производная по [math]y[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Производная от двойного интеграла
СообщениеДобавлено: 08 янв 2020, 15:06 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 2948
Cпасибо сказано: 464
Спасибо получено:
846 раз в 727 сообщениях
Очков репутации: 139

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Потому что внутренний интеграл - это интегрирование по переменной [math]\eta[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Производная от двойного интеграла
СообщениеДобавлено: 08 янв 2020, 15:12 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar, получил вот так
Обозначим внутренний интеграл через [math]F(x, y, \xi)[/math], тогда [math]u(x, y)=\dfrac12\int\limits_{0}^xF(x, y, \xi)\,d\xi.[/math] Найдем ее частные производные при помощи формулы Лейбница:
[math]\frac{\partial u}{\partial x}=\frac12\int\limits_0^x\frac{\partial F(x, y, \xi)}{\partial x}\,d\xi+F(x, y, x)\cdot1-F(x, y, 0)\cdot0=\frac12\int\limits_0^x\frac{\partial F(x, y, \xi)}{\partial x}\,d\xi.[/math]
Далее находим
[math]\frac{\partial F(x, y, \xi)}{\partial x}=\int\limits_{\xi-x+y}^{x+y-\xi}\frac{\partial f(\xi, \eta)}{\partial x}\,d\eta+f(\xi,x+y-\xi)+f(\xi, \xi-x+y)=f(\xi,x+y-\xi)+f(\xi, \xi-x+y).[/math]
Таким образом,
[math]\frac{\partial u}{\partial x}=\frac12\int\limits_0^x\bigl(f(\xi, x+y-\xi)+f(\xi, \xi-x+y)\bigr)\,d\xi.[/math]
Найдем частную производную второго порядка по [math]x[/math]:
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac12\int\limits_0^x\left(\frac{\partial f(\xi, x+y-\xi)}{\partial x}+\frac{\partial f(\xi, \xi-x+y)}{\partial x}\right)d\xi+f(x, y).[/math]
Обозначим [math]u=\xi,~v=x+y-\xi,~w=\xi-x+y[/math], тогда
[math]\begin{aligned}
& \frac{\partial f(u, v)}{\partial x}=\frac{\partial f(u, v)}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f(u, v)}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial f(u, v)}{\partial v},\\
& \frac{\partial f(u, w)}{\partial x}=\frac{\partial f(u, w)}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f(u, w)}{\partial w}\cdot\frac{\partial w}{\partial x}=-\frac{\partial f(u, x)}{\partial w}
\end{aligned}[/math]

и окончательно
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac12\int\limits_0^x\left(\frac{\partial f(\xi, x+y-\xi)}{\partial (x+y-\xi)}-\frac{\partial f(\xi, \xi-x+y)}{\partial (\xi-x+y)}\right)d\xi+f(x, y).[/math]
Аналогично, находим
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac12\int\limits_0^x\left(\frac{\partial f(\xi, x+y-\xi)}{\partial (x+y-\xi)}-\frac{\partial f(\xi, \xi-x+y)}{\partial (\xi-x+y)}\right)d\xi.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Производная от двойного интеграла
СообщениеДобавлено: 08 янв 2020, 15:29 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 2948
Cпасибо сказано: 464
Спасибо получено:
846 раз в 727 сообщениях
Очков репутации: 139

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так и у вас в предпоследней строчке производная по ВТОРОМУ аргументу, а не по первому!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Производная от двойного интеграла
СообщениеДобавлено: 08 янв 2020, 15:31 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar писал(а):
Так и у вас в предпоследней строчке производная по ВТОРОМУ аргументу, а не по первому!

То есть у меня все верно? Я просто не понимаю, почему у вас там был [math]y[/math]..

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Производная от двойного интеграла
СообщениеДобавлено: 08 янв 2020, 15:40 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 2948
Cпасибо сказано: 464
Спасибо получено:
846 раз в 727 сообщениях
Очков репутации: 139

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, верно. А нижний индекс у означал производную по второму аргументу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали:
math1love
 Заголовок сообщения: Re: Производная от двойного интеграла
СообщениеДобавлено: 08 янв 2020, 19:59 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar писал(а):
Да, верно. А нижний индекс у означал производную по второму аргументу.

Ааа, просто не знал, что такое обозначение есть

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2  Страница 2 из 2 [ Сообщений: 19 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Производная по одной переменной от двойного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

R_e_n

0

381

25 сен 2014, 17:55

Вычисление двойного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

mirta

4

163

23 май 2016, 01:42

Границы двойного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

juliafedoseeva

1

135

21 окт 2017, 13:08

Вычисление двойного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

skwizgard

9

389

02 окт 2011, 10:59

Свойство двойного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

meow22

1

104

10 апр 2017, 23:58

решение двойного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

ANNA145

1

184

12 янв 2012, 19:40

Сходимость двойного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

this_one_heart

3

138

20 июл 2019, 22:58

Вычисление двойного интеграла по области d

в форуме Интегральное исчисление

RemZ

1

156

16 сен 2017, 10:55

Численное интегрирование двойного интеграла

в форуме Численные методы

bvl

2

114

24 май 2018, 19:52

Геометрические приложения двойного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

LeraVRN95

1

272

25 окт 2014, 20:06


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved