Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 3 |
[ Сообщений: 26 ] | На страницу 1, 2, 3 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
math1love |
|
|
[math]\left(\dfrac{x}a+\dfrac{y}b\right)^5=\dfrac{x^2y^2}{c^4}.[/math] Привожу свое решение. Переходя к обобщенным полярным координатам [math]x=ar\cos\varphi[/math], [math]y=br\sin\varphi[/math], уравнение кривой принимает вид [math]r=\dfrac{a^2b^2\cos^2\varphi\sin^2\varphi}{c^4(\cos\varphi+\sin\varphi)^5}.[/math] Далее так как [math]r\ge0[/math], получаем, что [math]\cos\varphi+\sin\varphi>0[/math], откуда [math]-\frac{\pi}4<\varphi<\frac{3\pi}4[/math] и площадь [math]S=\frac{(ab)^5}{2c^8}\int\limits_{-\frac{\pi}4}^{\frac{3\pi}4}\dfrac{\cos^4\varphi\sin^4\varphi\,d\varphi}{(\cos\varphi+\sin\varphi)^{10}}.[/math] Верно ли я рассуждаю? Просто меня смущает, что [math]\varphi[/math] меняется не по отрезку, а по интервалу... К тому же, этот интеграл расходится... Или здесь можно сделать замену [math]x=ar\cos^2\varphi[/math], [math]y=br\sin^2\varphi[/math]? |
||
Вернуться к началу | ||
slava_psk |
|
|
Вернуться к началу | ||
math1love |
|
|
slava_psk писал(а): При построении фигуры выясняется, что она имеет замкнутый вид на [math]\left[ 0,\frac{ \pi }{ 2 } \right][/math] Не понятно, почему у вас (ab)^5. Якобиан данного преобразования [math]J=abr[/math], поэтому [math]S=\int\limits_{\alpha}^{\beta}d\varphi\int\limits_0^{\frac{a^2b^2\cos^2\varphi\sin^2\varphi}{c^4(\cos\varphi+\sin\varphi)^5}}abr\,dr=\frac{ab}2\int\limits_{\alpha}^{\beta}\left(\frac{a^2b^2\cos^2\varphi\sin^2\varphi}{c^4(\cos\varphi+\sin\varphi)^5}\right)^2d\varphi=\frac{(ab)^5}{2c^8}\int\limits_{\alpha}^{\beta}\dfrac{\cos^4\varphi\sin^4\varphi\,d\varphi}{(\cos\varphi+\sin\varphi)^{10}}[/math] Но вот как определить пределы изменения полярного угла? Проблема вся в этом. И можно ли ввести другую полярную замену [math]x=ar\cos^2\varphi[/math], [math]y=br\sin^2\varphi[/math]? Построить кривую в программе не составляет трудностей, но как аналитически показать, что угол изменяется в пределах первой четверти? |
||
Вернуться к началу | ||
slava_psk |
|
|
Полярный угол от 0 до pi/2. Постройте кривую, вне этого интервала "усы" уходящие в бесконечность.
|
||
Вернуться к началу | ||
math1love |
|
|
slava_psk писал(а): Полярный угол от 0 до pi/2. Постройте кривую, вне этого интервала "усы" уходящие в бесконечность. Можно ли ввести другую полярную замену [math]x=ar\cos^2\varphi[/math], [math]y=br\sin^2\varphi[/math]? Построить кривую в программе не составляет трудностей, но как аналитически показать, что угол изменяется в пределах первой четверти? |
||
Вернуться к началу | ||
slava_psk |
|
|
Раз трудностей не представляет покажите мне реальный график этой кривой со всеми точками на -pi/4, pi/2 . Перед тем как вычислять площадь фигуры нужно ее нарисовать, хотя бы эскиз. В слепую такие дела не делаются.
|
||
Вернуться к началу | ||
math1love |
|
|
slava_psk писал(а): Раз трудностей не представляет покажите мне реальный график этой кривой со всеми точками на -pi/4, pi/2 . Перед тем как вычислять площадь фигуры нужно ее нарисовать, хотя бы эскиз. В слепую такие дела не делаются. Я говорю, что нет трудностей построить в программе, без нее я понятия не имею, как выглядит график этой кривой... Но ведь должно быть какое-то условие, задающее изменение полярного угла.. |
||
Вернуться к началу | ||
slava_psk |
|
|
Так условие вы правильно записали. Но петля образуется на 0 pi/2. Можете не строить, а аналитически исследовать поведение [math]r\left( \varphi \right)[/math] и убедиться в том, что это так.
|
||
Вернуться к началу | ||
math1love |
|
|
slava_psk писал(а): Так условие вы правильно записали. Но петля образуется на 0 pi/2. Можете не строить, а аналитически исследовать поведение [math]r\left( \varphi \right)[/math] и убедиться в том, что это так. Вот как это исследовать, я и не знаю.. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Моё решение:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=polar+%28a%5E5+b%5E5%2F4*+sin%5E2%282t%29%29%2F%28c%5E4+%28b+cos%28t%29+%2B+a+sin%28t%29%29%5E5%29+where+a%3D7+and+b%3D5+and+c%3D3 https://www.wolframalpha.com/input/?i=int%281%2F2*%28%28a%5E5+b%5E5%2F4*+sin%5E2%282t%29%29%2F%28c%5E4+%28b+cos%28t%29+%2B+a+sin%28t%29%29%5E5%29%29%5E2%2Ct%3D0..pi%2F2%29+where+a%3D7+and+b%3D5+and+c%3D3 Площади совпали при этом частном случае Но интеграл в общем виде очень уж сложный. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3 След. | [ Сообщений: 26 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |