Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти площадь, ограниченную кривой
СообщениеДобавлено: 19 дек 2019, 12:23 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти площадь, ограниченную кривой
[math]\left(\dfrac{x}a+\dfrac{y}b\right)^5=\dfrac{x^2y^2}{c^4}.[/math]

Привожу свое решение.

Переходя к обобщенным полярным координатам [math]x=ar\cos\varphi[/math], [math]y=br\sin\varphi[/math], уравнение кривой принимает вид
[math]r=\dfrac{a^2b^2\cos^2\varphi\sin^2\varphi}{c^4(\cos\varphi+\sin\varphi)^5}.[/math]
Далее так как [math]r\ge0[/math], получаем, что [math]\cos\varphi+\sin\varphi>0[/math], откуда [math]-\frac{\pi}4<\varphi<\frac{3\pi}4[/math] и площадь
[math]S=\frac{(ab)^5}{2c^8}\int\limits_{-\frac{\pi}4}^{\frac{3\pi}4}\dfrac{\cos^4\varphi\sin^4\varphi\,d\varphi}{(\cos\varphi+\sin\varphi)^{10}}.[/math]
Верно ли я рассуждаю? Просто меня смущает, что [math]\varphi[/math] меняется не по отрезку, а по интервалу...
К тому же, этот интеграл расходится...
Или здесь можно сделать замену [math]x=ar\cos^2\varphi[/math], [math]y=br\sin^2\varphi[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь, ограниченную кривой
СообщениеДобавлено: 19 дек 2019, 13:53 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 1498
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
274 раз в 267 сообщениях
Очков репутации: 65

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При построении фигуры выясняется, что она имеет замкнутый вид на [math]\left[ 0,\frac{ \pi }{ 2 } \right][/math]
Изображение

Изображение

Не понятно, почему у вас (ab)^5.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь, ограниченную кривой
СообщениеДобавлено: 19 дек 2019, 14:07 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk писал(а):
При построении фигуры выясняется, что она имеет замкнутый вид на [math]\left[ 0,\frac{ \pi }{ 2 } \right][/math]
Изображение

Изображение

Не понятно, почему у вас (ab)^5.

Якобиан данного преобразования [math]J=abr[/math], поэтому
[math]S=\int\limits_{\alpha}^{\beta}d\varphi\int\limits_0^{\frac{a^2b^2\cos^2\varphi\sin^2\varphi}{c^4(\cos\varphi+\sin\varphi)^5}}abr\,dr=\frac{ab}2\int\limits_{\alpha}^{\beta}\left(\frac{a^2b^2\cos^2\varphi\sin^2\varphi}{c^4(\cos\varphi+\sin\varphi)^5}\right)^2d\varphi=\frac{(ab)^5}{2c^8}\int\limits_{\alpha}^{\beta}\dfrac{\cos^4\varphi\sin^4\varphi\,d\varphi}{(\cos\varphi+\sin\varphi)^{10}}[/math]
Но вот как определить пределы изменения полярного угла? Проблема вся в этом. И можно ли ввести другую полярную замену [math]x=ar\cos^2\varphi[/math], [math]y=br\sin^2\varphi[/math]?
Построить кривую в программе не составляет трудностей, но как аналитически показать, что угол изменяется в пределах первой четверти?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь, ограниченную кривой
СообщениеДобавлено: 19 дек 2019, 14:11 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 1498
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
274 раз в 267 сообщениях
Очков репутации: 65

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Полярный угол от 0 до pi/2. Постройте кривую, вне этого интервала "усы" уходящие в бесконечность.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь, ограниченную кривой
СообщениеДобавлено: 19 дек 2019, 14:15 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk писал(а):
Полярный угол от 0 до pi/2. Постройте кривую, вне этого интервала "усы" уходящие в бесконечность.

Можно ли ввести другую полярную замену [math]x=ar\cos^2\varphi[/math], [math]y=br\sin^2\varphi[/math]?
Построить кривую в программе не составляет трудностей, но как аналитически показать, что угол изменяется в пределах первой четверти?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь, ограниченную кривой
СообщениеДобавлено: 19 дек 2019, 14:40 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 1498
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
274 раз в 267 сообщениях
Очков репутации: 65

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Раз трудностей не представляет покажите мне реальный график этой кривой со всеми точками на -pi/4, pi/2 . Перед тем как вычислять площадь фигуры нужно ее нарисовать, хотя бы эскиз. В слепую такие дела не делаются.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь, ограниченную кривой
СообщениеДобавлено: 19 дек 2019, 14:44 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk писал(а):
Раз трудностей не представляет покажите мне реальный график этой кривой со всеми точками на -pi/4, pi/2 . Перед тем как вычислять площадь фигуры нужно ее нарисовать, хотя бы эскиз. В слепую такие дела не делаются.

Я говорю, что нет трудностей построить в программе, без нее я понятия не имею, как выглядит график этой кривой...
Но ведь должно быть какое-то условие, задающее изменение полярного угла..

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь, ограниченную кривой
СообщениеДобавлено: 19 дек 2019, 15:06 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 1498
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
274 раз в 267 сообщениях
Очков репутации: 65

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так условие вы правильно записали. Но петля образуется на 0 pi/2. Можете не строить, а аналитически исследовать поведение [math]r\left( \varphi \right)[/math] и убедиться в том, что это так.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь, ограниченную кривой
СообщениеДобавлено: 19 дек 2019, 15:13 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk писал(а):
Так условие вы правильно записали. Но петля образуется на 0 pi/2. Можете не строить, а аналитически исследовать поведение [math]r\left( \varphi \right)[/math] и убедиться в том, что это так.

Вот как это исследовать, я и не знаю..

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь, ограниченную кривой
СообщениеДобавлено: 19 дек 2019, 17:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12044
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1011
Спасибо получено:
3394 раз в 2976 сообщениях
Очков репутации: 649

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 26 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти площадь, ограниченную кривой

в форуме Интегральное исчисление

vladimirovna

6

470

16 май 2013, 15:44

Найти площадь, ограниченную кривой x^4+y^4=x^2+y^2

в форуме Интегральное исчисление

kkk

8

235

07 апр 2019, 19:24

Вычислить площадь, ограниченную кривой

в форуме Интегральное исчисление

Marinka1994

2

309

29 апр 2012, 21:26

Вычислить площадь фигуры, ограниченную кривой

в форуме Интегральное исчисление

8m2

1

288

27 мар 2013, 11:58

Найти площадь, ограниченную кривыми

в форуме Интегральное исчисление

vladimirovna

1

229

14 май 2013, 17:54

найти площадь,ограниченную линиями.

в форуме Интегральное исчисление

Alexej222

3

679

02 июл 2012, 22:16

Найти площадь, ограниченную кривыми

в форуме Интегральное исчисление

ShpatSH

2

184

06 май 2012, 12:22

Найти площадь, ограниченную кривыми

в форуме Интегральное исчисление

__Oksana__

1

241

04 май 2012, 19:46

Найти площадь фигуры, ограниченную линиями

в форуме Интегральное исчисление

lazuro4ka

1

293

29 апр 2013, 21:10

Найти площадь фигуры ограниченную линиями

в форуме Интегральное исчисление

svkolo

3

239

14 май 2013, 15:50


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved