Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Как взять интеграл?
СообщениеДобавлено: 13 ноя 2019, 21:00 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12044
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1011
Спасибо получено:
3394 раз в 2976 сообщениях
Очков репутации: 649

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вычислить сумел только методом Симпсона:

[math]\int \limits_0^{2\pi}\frac{(\pi-x)\, \sin(x)}{1+\cos ^2(x)}\, dx\approx 4.9348022[/math]

Без труда выяснил, что это [math]\frac{\pi^2}{2}[/math]

Но как найти, например, первообразную?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как взять интеграл?
СообщениеДобавлено: 13 ноя 2019, 22:12 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2137
Cпасибо сказано: 78
Спасибо получено:
652 раз в 628 сообщениях
Очков репутации: 194

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\int \frac{ (\pi-x)\sin{(x)} }{ 1 +\cos^2{(x)} }dx =\int \frac{ \pi\sin{(x)} }{ 1 +\cos^2{(x)} }dx -\int \frac{ x\sin{(x)} }{ 1 +\cos^2{(x)} }dx[/math]
Первы интеграл понятен, а второй по части :
[math]\int \frac{ x\sin{(x)} }{ 1 +\cos^2{(x)} }dx = - x\operatorname{arctg}\left( \cos{(x)} \right) + \operatorname{arctg}(\cos{x} ) +C_{1} = (1-x)\operatorname{arctg}\left( \cos{(x)} \right) +C_{1}[/math] и так как
[math]\int \frac{ \pi\sin{(x)} }{ 1 +\cos^2{(x)} }dx= -\pi\operatorname{arctg}\left( \cos{(x)} \right) +C_{2}[/math] то :

[math]\int \frac{ (\pi-x)\sin{(x)} }{ 1 +\cos^2{(x)} }dx = (x-1-\pi)\operatorname{arctg}\left( \cos{(x)} \right) +C[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Как взять интеграл?
СообщениеДобавлено: 13 ноя 2019, 22:41 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2137
Cпасибо сказано: 78
Спасибо получено:
652 раз в 628 сообщениях
Очков репутации: 194

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
От последнего неопределеного интеграла если взять в [math][0,2\pi][/math] определеного интеграла и получите [math]\frac{ \pi^2 }{ 2 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как взять интеграл?
СообщениеДобавлено: 13 ноя 2019, 22:57 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12044
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1011
Спасибо получено:
3394 раз в 2976 сообщениях
Очков репутации: 649

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan
Ок! Тут все ясно. Спасибо огромное!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как взять интеграл?
СообщениеДобавлено: 13 ноя 2019, 23:02 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
04 май 2019, 20:14
Сообщений: 267
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
59 раз в 59 сообщениях
Очков репутации: 10

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan, если интегрировать по частям, то там появится [math]\int arctg(cos x)dx[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю asahi "Спасибо" сказали:
Tantan
 Заголовок сообщения: Re: Как взять интеграл?
СообщениеДобавлено: 14 ноя 2019, 01:23 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
04 май 2019, 20:14
Сообщений: 267
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
59 раз в 59 сообщениях
Очков репутации: 10

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Первообразную здесь вряд ли получится найти. Но если рассматривать определенный интеграл, то [math]\int_0^{2\pi}arctg(cos x)dx=0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как взять интеграл?
СообщениеДобавлено: 14 ноя 2019, 04:31 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12044
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1011
Спасибо получено:
3394 раз в 2976 сообщениях
Очков репутации: 649

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
asahi, вот оно что!
А то я беру производную и подинтегральное выражение не получается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как взять интеграл?
СообщениеДобавлено: 14 ноя 2019, 08:43 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2137
Cпасибо сказано: 78
Спасибо получено:
652 раз в 628 сообщениях
Очков репутации: 194

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да [math]asahi[/math] ,
Вы правы [math]\int \operatorname{arctg}\left( \cos{(x)} \right) dx[/math] остается !
Вы правы что [math]\int\limits_{0}^{2\pi} \operatorname{arctg}\left( \cos{(x)} \right) dx =0[/math] потому что,
[math]\int \operatorname{arctg}\left( \cos{(x)} \right) dx=\cos{(x)} \cdot \operatorname{arctg}\left( \cos{(x)} \right) -\frac{ 1 }{ 2 } \cdot \ln{\left( 1+\cos^2{(x)} \right) }[/math] и если взять в границы [math][0,2\pi][/math] , то получиться [math]0[/math] .
Смотрите 525. Г.Б.Двайт "Таблица интегралов и другие математические формулы", изд. пятое,Моска 1977г.
http://padabum.com/d.php?id=29417 -( эту ссылку на второго издания, так что номер можно и не 525.)
И так как [math]\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{ \pi\sin{(x)} }{ 1+\cos^2{(x)} } dx =[/math][math]\left.{- \pi \operatorname{arctg}\left( \cos{(x)} \right) }\right|_{ 0 }^{ 2\pi } =0[/math],
а [math]\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{- x\sin{(x)} }{ 1+ cos^2(x) }dx =[/math][math]\left.{ x \cdot \operatorname{arctg}\left( \cos{(x)} \right) }\right|_{ 0 }^{2 \pi } -[/math][math]\int\limits_{0}^{2\pi}\operatorname{arctg}\left( \cos{(x)}\right)dx = 2\pi \cdot \frac{ \pi }{ 4 } - 0 =\frac{ \pi^2 }{ 2 }[/math].
В конце концов [math]Avgust[/math] , Вы правы ответ поистину [math]= \frac{ \pi^2}{ 2 }[/math] и первообразная есть, но
не точно такого, что первоначално писал - извините за ошибку и то что я Вас подвел!
[math]asahi[/math] спосибо Вам ,за что овремя заметили мою ошибку!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как взять интеграл?
СообщениеДобавлено: 14 ноя 2019, 09:53 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
04 май 2019, 20:14
Сообщений: 267
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
59 раз в 59 сообщениях
Очков репутации: 10

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan, в книге под этим номером дается интеграл [math]\int arctg\frac{x}{a}dx[/math], а не тот что нам нужен. Просто подставить вместо x любое другое выражение не получится, производная от внутренней функции будет нам мешать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как взять интеграл?
СообщениеДобавлено: 14 ноя 2019, 14:13 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12044
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1011
Спасибо получено:
3394 раз в 2976 сообщениях
Очков репутации: 649

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Гладштейн и Рыжик (стр 453, 3.812) дают следующее:

[math]\int \limits_0^{\pi}\frac{x\, \sin (x)}{a+b\, \cos^2(x)}\,dx=\frac{\pi}{\sqrt{ab}} arctg \,\sqrt{\frac ba} \qquad a>0,
\, b>0[/math]


При [math]a=b=1[/math] будет [math]\frac{\pi ^2}{4}[/math]

Я выяснил, что

[math]\int \limits_{\pi}^{2\pi}\frac{x\, \sin (x)}{1+\cos^2(x)}\,dx=-\frac{3\pi ^2}{4}[/math]

Поэтому действительно

[math]\int \limits_0^{2\pi}\frac{x\, \sin (x)}{1+\cos^2(x)}\,dx=-\frac{\pi ^2}{2}[/math]
https://www.wolframalpha.com/input/?i=int%28%28x%29*sin%28x%29%2F%281%2Bcos%28x%29%5E2%29%2Cx%3D0..2*pi%29

Изображение

Но первообразную дает только Вольфрам. Причем такую дикую, что даже копировать страшно.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=int%28x*sin%28x%29%2F%281%2Bcos%28x%29%5E2%29%2Cx%29

Ну, а [math]\int \limits_0^{2\pi}\frac{(\pi-x)\, \sin (x)}{1+\cos^2(x)}\,dx=\frac{\pi ^2}{2}[/math]

при этом график подинтегральной функции кардинально меняется, кривая становится симметричной относительно [math]x=\pi[/math]
https://www.wolframalpha.com/input/?i=int%28%28pi-x%29*sin%28x%29%2F%281%2Bcos%28x%29%5E2%29%2Cx%3D0..2*pi%29

Изображение

Я к чему клоню в этой теме... Меня просили аппроксимировать точки:
x y
0 0
0.5 0.782
1.0 1.474
1.5 1.941
2.0 1.531
2.5 0.556
3.0 0.063
3.5 0.021
4.0 0.238
4.5 0.694
5.0 1.445
5.5 2.195
6.0 1.727
6.5 0.261

Нужно было подобрать формулу кривой и найти площадь положительной части.
Вот что у меня вышло:

Изображение

Кривая очень точно проходит по точкам. Но получить аналитику для площади, видимо, не удастся.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Взять интеграл

в форуме Интегральное исчисление

karastia_13

1

155

11 мар 2018, 21:37

Взять интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Frost_52

0

131

23 дек 2018, 00:28

Взять интеграл

в форуме Интегральное исчисление

ksenia100000000

9

429

27 дек 2012, 13:42

Как взять интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

brom

6

213

16 апр 2017, 19:50

Взять интеграл

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Badsanta

3

495

03 май 2011, 11:23

Как взять интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

brom

1

188

01 июн 2017, 20:32

взять интеграл

в форуме Интегральное исчисление

bdfn90

4

360

10 фев 2011, 21:46

Взять интеграл

в форуме Интегральное исчисление

eva_eva

4

232

25 дек 2018, 16:22

Взять интеграл

в форуме Интегральное исчисление

crazymadman18

8

206

19 мар 2018, 14:21

как взять этот интеграл

в форуме Интегральное исчисление

kovcheg

1

240

21 сен 2011, 13:47


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved