Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле

Перейти к сферическим координатам (x=rcos(a)cos(b), y=rsin(a)cos(b), z=rsin(b)) и расставить пределы интегрирования в тройном повторном интеграле. Интегрирование происходит в множестве {(x,y,z) из R3 | x+y+z<=1, x,y,z>=0}. В случае (da)(db)(dr) последний предел требует выражение r через a и b(углы). Подставим новые координаты в x+y+z=1. Получится r=cos(a)cos(b)+sin(a)cos(b)+sin(b). Предел получен. А для случаев (dr)(db)(da) и (da)(dr)(db)? Как выразить? Вообще я правильно мыслю?

Интегрировать по такой области в сферических координатах - это абсурд.

Полностью согласен, но задание такое . Знаете как решить?

Уравнение плоскости в сферических координатах будет: [math]r=\frac{ 1 }{ sin \theta cos \varphi +sin \theta sin \varphi +cos \theta }[/math]

[math]\iiint\limits_{ V }f(r, \varphi , \theta )r^{2}drd \varphi d \theta==\int\limits_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 } }d \varphi\int\limits_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 } }sin \theta d \theta \int\limits_{0}^{\frac{ 1 }{ sin \theta cos \varphi +sin \theta sin \varphi +cos \theta }}f(r, \varphi , \theta )r^{2}dr[/math]

Это верно, но нужно решить для другого порядка дифференциалов.

vladislav_544
Постановку задачи в первоначальном варианте приведите.

В общем я похоже разобрался. Прикрепил фото решения. Задача действительно с точки зрения прикладной математики бесполезна (такое делается в обычных декартовых коорд. ) Но мне она помогла лучше понять (если я действительно правильно решил ), как находить пределы в тройном интеграле в СФЕРИЧЕСКИХ координатах с такой вот совсем неудобной областью, как пирамида.

С точки зрения прикладной математики взятие тройных интегралов делается очень просто - значение подинтегральной функции обнуляется, если не выполнено условие принадлежности нужной области. А пределы интегрирования берутся постоянными по всем трем измерениям. Кстати на практике часто бывает удобным перейти от трехмерных декартовых координат к сферическим именно при численном вычислении трехмерных интегралов с бесконечными пределами, тогда бесконечный предел остается только один - по радиальной переменной.