Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить интеграл как предел интегральных сумм
СообщениеДобавлено: 01 июн 2011, 16:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 май 2011, 14:46
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Оценить интеграл [math]\int\limits_{1}^{2}\frac{e^x}{x}\,dx[/math].
2. Вычислить интеграл как предел интегральных сумм [math]\int\limits_{2}^{4}x^2\,dx[/math]

Просто уже очень давно это все прошли, но друг попросил помочь ему.
Заранее спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить интеграл как предел интегральных сумм
СообщениеДобавлено: 02 июн 2011, 10:55 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 16:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
дык енто. А дружок-то занимог чтолича? Так сильно хвараит, ши и писать ни научин?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить интеграл как предел интегральных сумм
СообщениеДобавлено: 02 июн 2011, 18:22 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 янв 2011, 20:52
Сообщений: 373
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
212 раз в 159 сообщениях
Очков репутации: 90

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
2. Разобьем фигуру, образованную линией [math]f(x)=x^2[/math] и осью [math]Ox[/math] на [math]N[/math] равных частей, тогда ширина каждого фрагмента [math]w=\frac{4-2}{N}=\frac{2}{N}[/math], высоту будем считать по правому краю каждого фрагмента: [math]h=f(2+\frac{2}{N}i)[/math], [math]i=1,2,...,N[/math]. Тогда площадь отдельного фрагмента будет равна [math]S_i=w\cdot h=\frac{2}{N}\cdot f\left(2+\frac{2}{N}i\right)=\frac{2}{N}\left(2+\frac{2}{N}i\right)^2=\frac{8}{N}\left(1+\frac{i}{N} \right )^2[/math]. Площадь всей фигуры будет равна
[math]S=\sum_{i=1}^NS_i=\sum_{i=1}^N\frac{8}{N}\left(1+\frac{i}{N}\right)^2=\frac{8}{N}\sum_{i=1}^N\left(1+\frac{2i}{N}+\frac{i^2}{N^2}\right)=\frac{8}{N}\left(\begin{aligned}&1+\frac{2}{N}+\frac{1}{N^2}+\\+&1+\frac{4}{N}+\frac{4}{N^2}+\\+&1+\frac{8}{N}+\frac{9}{N^2}+...\\+&1+\frac{2N}{N}+\frac{N^2}{N^2} \end{aligned} \right )[/math]
.
Сумма первых слагаемых (единиц) из каждой тройки дает в сумме [math]N[/math].
Сумма вторых слагаемых из каждой тройки - это сумма [math]N[/math] первых членов арифметической програссии со стартовым членом [math]2[/math] и шагом [math]2[/math], деленная на [math]N[/math]: [math]\sum_{i=1}^N\frac{2i}{N}=\frac{1}{N}\cdot N(N+1)=N+1[/math].
Сумма третьих слагаемых из каждой тройки при вынесении [math]\frac{1}{N^2}[/math] за скобки дает сумму квадратов [math]N[/math] первых натуральных чисел и равна: [math]\sum_{i=1}^N\frac{i^2}{N^2}=\frac{1}{N^2}\sum_{i=1}^Ni^2=\frac{1}{N^2}\cdot\frac{1}{6}N(N+1)(2N+1)[/math].
В итоге, сумма площадей всех фрагментов: [math]S=\frac{8}{N}\cdot\left(N+N+1+\frac{(N+1)(2N+1)}{6N}\right)=16+\frac{8}{N}+\frac{4}{3}\frac{(N+1)(2N+1)}{N^2}[/math].
Чтобы точно посчитать площадь, нам необходимо взять бесконечно малую ширину каждого фрагмента, т.е. устремить [math]N[/math] к бесконечности:
[math]\lim_{N\to\infty}S=\lim_{N\to\infty}\left(16+\frac{8}{N}+\frac{4}{3}\frac{(N+1)(2N+1)}{N^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\left(16+\frac{8}{N}+\frac{4}{3}\frac{(1+\frac{1}{N})(2+\frac{1}{N})}{1}\right)=16+0+\frac{8}{3}=\frac{56}{3}[/math].

Таким образом, [math]\int\limits_2^4x^2dx=\frac{56}{3}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Minotaur "Спасибо" сказали:
mad_math
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Итеграл с помощью интегральных сумм

в форуме Интегральное исчисление

Gvinblad

0

261

13 дек 2017, 20:32

Вычислить интеграл как предел интегральной суммы

в форуме Интегральное исчисление

Kayito

1

114

03 июн 2020, 07:49

Составление интегральных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

StasLukov

1

170

02 апр 2018, 10:12

Найти спектр интегральных операторов в L2[0,1]

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

MathGen

0

589

17 авг 2014, 17:07

Помогите с методом линейных интегральных представлений

в форуме Интегральное исчисление

marusia

0

246

08 ноя 2011, 11:42

найти и построить семейтсво интегральных кривых

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

alishka_

1

288

07 ноя 2011, 01:05

Количество сумм

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

iperevalov

0

210

22 дек 2015, 00:06

Асимптотики сумм

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Quantum

1

281

22 окт 2015, 19:47

Огрубление сумм и произведений

в форуме Ряды

Dim212

10

1060

31 мар 2018, 11:00

Производная от произведения сумм

в форуме Дифференциальное исчисление

Fireman

1

121

15 фев 2019, 00:11


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved