Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
jagdish |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
underline |
|
|
1-ый способ: домножить числитель и знаменатель на [math]x - \sqrt {2{x^2} - 2}[/math], после чего преобразовать результат в сумму дробей, одна из которых элементарна, а со второй придется помучиться через подстановку Эйлера.
2-ой способ: сразу применить подстановку Эйлера, но в виде [math]t + (1 - \sqrt 2 )x = x + \sqrt {2{x^2} - 2}[/math]. Осторожно, там очень много недобрых радикалов!!! |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю underline "Спасибо" сказали: jagdish |
||
pewpimkin |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали: jagdish |
||
Li6-D |
|
|
Способ с заменой [math]x=\frac{{t +{t^{-1}}}}{2},\;(t \geqslant 1 \geqslant{t^{-1}})[/math],
откуда: [math]t,{t^{-1}}= x \pm \sqrt{{x^2}-1}\; \Rightarrow{t^2},{t^{-2}}= 2{x^2}\pm 2x\sqrt{{x^2}-1}\; - 1[/math] (1) [math]\int{\frac{{dx}}{{x + \sqrt{2{x^2}- 2}}}}= \int{\frac{{d\left({t +{t^{- 1}}}\right)}}{{\left({1 + \sqrt 2}\right)t - \left({\sqrt 2 - 1}\right){t^{- 1}}}}}= \int{\frac{{dt}}{{at - b{t^{- 1}}}}}- \int{\frac{{d{t^{- 1}}}}{{b{t^{- 1}}- at}}}[/math], где [math]a,b = \sqrt 2 \pm 1[/math]. Без учета постоянной интегрирования первый интеграл равен: [math]\frac{1}{{2a}}\ln \left({{t^2}- \frac{b}{a}}\right) = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{2}\ln \left({{t^2}-{{\left({\sqrt 2 - 1}\right)}^2}}\right) = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{2}\ln \left({{t^2}- 3 + 2\sqrt 2}\right)[/math]. Второй интеграл запишем уже формально на основании первого: . [math]- \frac{1}{{2b}}\ln \left({\frac{a}{b}-{t^{- 2}}}\right) = - \frac{{\sqrt 2 + 1}}{2}\ln \left({3 + 2\sqrt 2 -{t^{- 2}}}\right)[/math]. Подставляя [math]{t^2},\;{t^{- 2}}[/math] из (1) в интегралы, получим: [math]\int {\frac{{dx}}{{x + \sqrt {2{x^2} - 2} }}} = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{2}\ln \left( {{x^2} + x\sqrt {{x^2} - 1} - 2 + \sqrt 2 } \right) - \frac{{\sqrt 2 + 1}}{2}\ln \left( { - {x^2} + x\sqrt {{x^2} - 1} + 2 + \sqrt 2 } \right) + C[/math]. Здесь без вреда для формулы сокращен множитель 2 в выражениях под логарифмами (сокращение лишь изменяет постоянную интегрирования на число [math]-\ln 2[/math]). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: jagdish |
||
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |