Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интеграл
СообщениеДобавлено: 14 фев 2019, 16:31 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
12 дек 2010, 20:32
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 306
Спасибо получено:
28 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\displaystyle \int\frac{1}{x+\sqrt{2x^2-2}}dx[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 14 фев 2019, 17:30 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1-ый способ: домножить числитель и знаменатель на [math]x - \sqrt {2{x^2} - 2}[/math], после чего преобразовать результат в сумму дробей, одна из которых элементарна, а со второй придется помучиться через подстановку Эйлера.

2-ой способ: сразу применить подстановку Эйлера, но в виде [math]t + (1 - \sqrt 2 )x = x + \sqrt {2{x^2} - 2}[/math]. Осторожно, там очень много недобрых радикалов!!!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю underline "Спасибо" сказали:
jagdish
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 15 фев 2019, 01:46 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
jagdish
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 16 фев 2019, 10:00 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Способ с заменой [math]x=\frac{{t +{t^{-1}}}}{2},\;(t \geqslant 1 \geqslant{t^{-1}})[/math],

откуда: [math]t,{t^{-1}}= x \pm \sqrt{{x^2}-1}\; \Rightarrow{t^2},{t^{-2}}= 2{x^2}\pm 2x\sqrt{{x^2}-1}\; - 1[/math] (1)

[math]\int{\frac{{dx}}{{x + \sqrt{2{x^2}- 2}}}}= \int{\frac{{d\left({t +{t^{- 1}}}\right)}}{{\left({1 + \sqrt 2}\right)t - \left({\sqrt 2 - 1}\right){t^{- 1}}}}}= \int{\frac{{dt}}{{at - b{t^{- 1}}}}}- \int{\frac{{d{t^{- 1}}}}{{b{t^{- 1}}- at}}}[/math], где [math]a,b = \sqrt 2 \pm 1[/math].

Без учета постоянной интегрирования первый интеграл равен:
[math]\frac{1}{{2a}}\ln \left({{t^2}- \frac{b}{a}}\right) = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{2}\ln \left({{t^2}-{{\left({\sqrt 2 - 1}\right)}^2}}\right) = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{2}\ln \left({{t^2}- 3 + 2\sqrt 2}\right)[/math].
Второй интеграл запишем уже формально на основании первого: .
[math]- \frac{1}{{2b}}\ln \left({\frac{a}{b}-{t^{- 2}}}\right) = - \frac{{\sqrt 2 + 1}}{2}\ln \left({3 + 2\sqrt 2 -{t^{- 2}}}\right)[/math].

Подставляя [math]{t^2},\;{t^{- 2}}[/math] из (1) в интегралы, получим:
[math]\int {\frac{{dx}}{{x + \sqrt {2{x^2} - 2} }}} = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{2}\ln \left( {{x^2} + x\sqrt {{x^2} - 1} - 2 + \sqrt 2 } \right) - \frac{{\sqrt 2 + 1}}{2}\ln \left( { - {x^2} + x\sqrt {{x^2} - 1} + 2 + \sqrt 2 } \right) + C[/math].

Здесь без вреда для формулы сокращен множитель 2 в выражениях под логарифмами
(сокращение лишь изменяет постоянную интегрирования на число [math]-\ln 2[/math]).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
jagdish
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Криволинейный интеграл второго порядка(Интеграл работы)

в форуме Интегральное исчисление

Mephisto

3

219

06 июл 2022, 22:50

Неопределённый интеграл.Правильно ли вычислен интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

sfanter

1

599

18 июн 2014, 10:04

Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл

в форуме Интегральное исчисление

natalee

1

700

18 янв 2015, 17:23

Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл

в форуме Интегральное исчисление

natalee

3

655

18 янв 2015, 17:23

Определенный интеграл и несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

VxVxN

11

897

14 апр 2015, 20:58

Неопределенный интеграл, и несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

smile555

3

658

08 май 2014, 09:11

Несобственный интеграл, двойной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

alexmilki

8

552

16 апр 2017, 21:43

Вычислить интеграл, Кратный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

PUFFIN

4

459

25 апр 2020, 15:39

Интеграл

в форуме Интегральное исчисление

IrinaG

12

569

26 апр 2015, 14:58

Интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Fa1c0n

9

444

21 апр 2018, 17:40


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved