Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 10 фев 2019, 06:50 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 521
Cпасибо сказано: 91
Спасибо получено:
7 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
Подскажите, пожалуйста, как изящней "взять" интегралы:

1) [math]\int \frac{ x^{3}-5x^{2}+5x+23 }{ (x^{2}-1)(x-5) }[/math]

2) [math]\int \frac{ 6x^{2}+7x }{ x^{3}-3x-2 }[/math]

3) [math]\int \frac{ x^{2}+3 }{ (x-1)(x^{2}+x+2) }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 10 фев 2019, 07:41 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 2630
Cпасибо сказано: 421
Спасибо получено:
740 раз в 627 сообщениях
Очков репутации: 129

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Посмотрите тему "Интегралы от рациональных функций". Там описан алгоритм вычисления таких интегралов. Изящества, конечно, немного. Но к цели приводит.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 10 фев 2019, 08:51 
В сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1130
Cпасибо сказано: 266
Спасибо получено:
224 раз в 191 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w
Здесь нет ни одного интеграла, поскольку нет элемента интегрирования.
Вы хотите "изящней взять", а не можете даже правильно выложить задание.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 10 фев 2019, 09:14 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 521
Cпасибо сказано: 91
Спасибо получено:
7 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gagarin писал(а):
351w
Здесь нет ни одного интеграла, поскольку нет элемента интегрирования.
Вы хотите "изящней взять", а не можете даже правильно выложить задание.


Да, dx пропущено (случайно). Опечатку видел, но поправки, к сожалению, уже внести нельзя.
Спасибо за замечание :) .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 10 фев 2019, 09:27 
В сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1130
Cпасибо сказано: 266
Спасибо получено:
224 раз в 191 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w писал(а):
Да, dx пропущено (случайно).
3(!!!) раза, и все случайно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 10 фев 2019, 09:28 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 521
Cпасибо сказано: 91
Спасибо получено:
7 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gagarin писал(а):
351w писал(а):
Да, dx пропущено (случайно).
3(!!!) раза, и все случайно?

Да.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 10 фев 2019, 09:45 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 1500
Cпасибо сказано: 48
Спасибо получено:
431 раз в 414 сообщениях
Очков репутации: 164

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]351w,[/math]
Давайте я Вам помогу для взятие последнего интеграла!
[math]3) \int \frac{ x^2+3 }{ (x-1)(x^2+x+2 }dx = \int \left( \frac{ 1 }{ x-1 } - \frac{ 1 }{ x^2+x+2 } \right)dx = \int \frac{ dx }{ x-1 } - \int \frac{ dx }{ x^2+x+2 } =[/math]

[math]= \ln{\left| x- 1 \right| } -\int \frac{ dx }{ \frac{ 7 }{ 4 } + (x + \frac{ 1 }{ 2 } )^2 } =\ln{\left| x- 1 \right| }-\int \frac{ dx }{ \frac{ 7 }{ 4 }\left( 1 + (\frac{ 2x+1 }{ \sqrt{7} })^2 \right) } =[/math]

[math]= \ln{\left| x- 1 \right| } - \frac{ 2 }{ \sqrt{7} } \int \frac{ d(\frac{ 2x+1 }{ \sqrt{7} } ) }{ 1 + (\frac{ 2x+1 }{ \sqrt{7} })^2 } = \ln{\left| x- 1 \right| } +\frac{ 2 }{ \sqrt{7} } \cdot \operatorname{arcctg}\left( \frac{ 2x+1 }{ \sqrt{7} } \right) +C[/math]
Эта я Вам для вдохновение показал!
Попробуйте остальные взят сам, покажите что получили, а мы Вам поможем! Если я всех Вам распишу, то боюс, что это будет плохо для Вашего обучение!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
351w
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 10 фев 2019, 09:54 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 521
Cпасибо сказано: 91
Спасибо получено:
7 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
[math]351w,[/math]
Давайте я Вам помогу для взятие последнего интеграла!
[math]3) \int \frac{ x^2+3 }{ (x-1)(x^2+x+2 }dx = \int \left( \frac{ 1 }{ x-1 } - \frac{ 1 }{ x^2+x+2 } \right)dx = \int \frac{ dx }{ x-1 } - \int \frac{ dx }{ x^2+x+2 } =[/math]

[math]= \ln{\left| x- 1 \right| } -\int \frac{ dx }{ \frac{ 7 }{ 4 } + (x + \frac{ 1 }{ 2 } )^2 } =\ln{\left| x- 1 \right| }-\int \frac{ dx }{ \frac{ 7 }{ 4 }\left( 1 + (\frac{ 2x+1 }{ \sqrt{7} })^2 \right) } =[/math]

[math]= \ln{\left| x- 1 \right| } - \frac{ 2 }{ \sqrt{7} } \int \frac{ d(\frac{ 2x+1 }{ \sqrt{7} } ) }{ 1 + (\frac{ 2x+1 }{ \sqrt{7} })^2 } = \ln{\left| x- 1 \right| } +\frac{ 2 }{ \sqrt{7} } \cdot \operatorname{arcctg}\left( \frac{ 2x+1 }{ \sqrt{7} } \right) +C[/math]
Эта я Вам для вдохновение показал!
Попробуйте остальные взят сам, покажите что получили, а мы Вам поможем! Если я всех Вам распишу, то боюс, что это будет плохо для Вашего обучение!


Спасибо. Я, вроде, справился с этими интегралами.
Вот, что у меня получилось:

Изображение

Но меня интересует второй интеграл. Я нашел корни кубического уравнения можно сказать "методом тыка" и преобразовал подынтегральную функцию методом неопределенных коэффициентов. Можно ли этот интеграл взять как-то по другому?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 10 фев 2019, 16:02 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 1500
Cпасибо сказано: 48
Спасибо получено:
431 раз в 414 сообщениях
Очков репутации: 164

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w писал(а):
Но меня интересует второй интеграл. Я нашел корни кубического уравнения можно сказать "методом тыка" и преобразовал подынтегральную функцию методом неопределенных коэффициентов. Можно ли этот интеграл взять как-то по другому?

Вы правильно взяли этого интеграла!Проверил! Это и класическая схема для разложения дробно-рациональных ф-ии. По другому может быть и можно взять, но едва ли будеть короче! А мне кажется что нетрудно сообразить, что [math]x^3 - 3x - 2 = (x+1)^2(x-2)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неопределенные интегралы
СообщениеДобавлено: 10 фев 2019, 16:05 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
10 окт 2018, 22:06
Сообщений: 272
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
77 раз в 75 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w писал(а):
Но меня интересует второй интеграл. Я нашел корни кубического уравнения можно сказать "методом тыка" и преобразовал подынтегральную функцию методом неопределенных коэффициентов. Можно ли этот интеграл взять как-то по другому?

По-другому, наверное, нельзя.
Зачем "методом тыка"? Ведь согласно т.Виета, произведение всех трех (включая комплексные, если таковые имеются) корней этого уравнения равно [math]\left( - 1 \right)^{3} \cdot \frac{ a_{0} }{ a_{3} } = - \frac{ - 2 }{ 1 } = 2[/math]. Ищем целые корни среди делителей этого числа. Найдя [math]x_{1} = - 1[/math], делим исходное (кубическое) уравнение на [math]x - x_{1} = x + 1[/math] и получаем квадратное.

Второй способ - группировка, для которой а) число слагаемых должно быть четным и б) коэффициентов каждого знака должно быть поровну.
У нас имеется 3 слагаемых, один коэффициент - положительный и два - отрицательных, так что не хватает одного положительного. В этом случае:
[math]x^{3} - 3x - 2 = x^{3} - 3x - 3 + 1 = \left( x^{3} + 1 \right) - 3\left( x + 1 \right) = \left( x + 1 \right)\left( x^{2} - x + 1 - 3 \right) = \left( x + 1 \right) \left( x^{2} - x - 2 \right) = \left( x + 1 \right) ^{2}\left( x - 2 \right)[/math]

Ну и третий способ - для усердных - формула Кардано...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

lelessi

3

361

13 апр 2011, 18:24

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

irina22

1

283

17 май 2012, 11:21

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

inn-ty

12

453

20 дек 2011, 20:19

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Yason5

3

248

17 май 2012, 08:53

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

lllulll

2

151

26 сен 2014, 19:44

Неопределённые интегралы

в форуме Интегральное исчисление

kopaneta

9

318

22 апр 2012, 22:00

Неопределённые интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Demalkur

6

378

22 апр 2012, 00:30

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

ManOfSky

10

301

03 июн 2015, 22:56

Неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

mushka

2

161

20 ноя 2011, 17:29

неопределенные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

jamil83

2

178

28 дек 2011, 00:56


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved