Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать интеграл по индукции
СообщениеДобавлено: 28 окт 2018, 11:15 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 78
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите, пожалуйста, доказать формулу
[math]\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^{2m}\cos(nx)\,dx=2(2m)!\sum\limits_{k=0}^{m-1}(-1)^k\frac{\pi^{2m-2k-1}}{n^{2k+2}(2m-2k-1)!}\cos(\pi n)[/math]
С базой индукции нет проблем, но когда пытаюсь доказать индукционный переход, попадаю в тупик.
Вот как пытался я:
Предположим, что
[math]\int\limits_{-\pi}^{\pi} x^{2p}\cos(nx)\,dx=2(2p)!\sum\limits_{k=0}^{p-1}(-1)^k\frac{\pi^{2p-2k-1}}{n^{2k+2}(2p-2k-1)!}\cos(\pi n)[/math]
и докажем, что
[math]\int\limits_{-\pi}^{\pi} x^{2p+2}\cos(nx)\,dx=2(2p+2)!\sum\limits_{k=0}^{p}(-1)^k\frac{\pi^{2p-2k+1}}{n^{2k+2}(2p-2k+1)!}\cos(\pi n)=[/math]
[math]=2(2p+2)!\left((-1)^p\frac{\pi}{n^{2p+2}}\cos(\pi n)+\sum\limits_{k=0}^{p-1}(-1)^k\frac{\pi^{2p-2k+1}}{n^{2k+2}(2p-2k+1)!}\cos(\pi n)\right).[/math]
Интегрируем по частям:
[math]\int\limits_{-\pi}^{\pi} x^{2p+2}\cos(nx)\,dx=\frac2{n}\int\limits_0^{\pi}x^{2p+2}d\sin nx=\frac{2(2p+2)}{n^2}\int\limits_0^{\pi}x^{2p+1}d\cos nx=\frac{2(2p+2)!\pi^{2p+1}}{(2p+1)!n^2}\cos(\pi n)-\frac{2(2p+2)!}{(2p)!n^2}\int\limits_0^{\pi}x^{2p}\cos nxdx[/math]
Далее вместо интеграла подставляем нашу формулу:
[math]\frac{2(2p+2)!\pi^{2p+1}}{(2p+1)!n^2}\cos(\pi n)-\frac{2(2p+2)!}{(2p)!n^2}\cdot 2(2p)!\sum\limits_{k=0}^{p-1}(-1)^k\frac{\pi^{2p-2k-1}}{n^{2k+2}(2p-2k-1)!}\cos(\pi n)[/math] а дальше я не знаю как свести к нужно формуле..

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ 1 сообщение ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Как доказать по индукции?

в форуме Алгебра

sfanter

1

254

02 май 2016, 09:27

Как доказать по индукции

в форуме Теория чисел

Kosta

1

423

28 окт 2015, 14:07

Методом индукции доказать

в форуме Дифференциальное исчисление

GeHorner

4

205

27 ноя 2020, 11:10

Доказать методом математической индукции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Matt Matics

6

601

17 окт 2017, 16:49

Доказать методом математической индукции

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Katrine

5

771

20 янв 2015, 15:07

Доказать по методу математической индукции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

FreshBlood004

2

302

28 сен 2018, 16:23

Доказать неравенство при помощи мат.индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

NathNoob0820

3

565

08 сен 2014, 01:04

Доказать неравенство методом мат. индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

NEvOl

5

507

04 янв 2017, 19:56

Доказать по индукции, что выражение делится на 17

в форуме Алгебра

sfanter

1

481

18 июн 2016, 15:05

Доказать методом математической индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

khv

2

441

27 апр 2015, 14:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved