Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интеграл от рациональной дроби
СообщениеДобавлено: 04 окт 2018, 14:50 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
04 июн 2017, 11:00
Сообщений: 250
Cпасибо сказано: 98
Спасибо получено:
34 раз в 28 сообщениях
Очков репутации: -124

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здраствуйте.
В курсовом расчёте надо было мне вычислить интеграл [math]\large \int \frac {dx}{\left (x^2+1\right )^2}[/math]
Я его легко взяла численно, работу мне зачли.
Но меня заинтересовало, а можно ли вычислить его аналитически. Сколько ни пробовала, не смогла. Если бы бином в знаменателе раскладывался на множители, думаю, что было бы намного легче.
Но знаменатель не раскладывается, хоть ты тресни. Перепробовала все известные методы интегрирования рациональных дробей. Ни один не даёт результата.
А возможно ли вообще это? Как подступиться к этому зверю?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл от рациональной дроби
СообщениеДобавлено: 04 окт 2018, 15:05 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2721
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Claudia писал(а):
Перепробовала все известные методы интегрирования рациональных дробей

Ну это Вы лукавите.
См. к примеру здесь формулу редукции (она легко получается интегрированием по частям).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
Claudia
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл от рациональной дроби
СообщениеДобавлено: 04 окт 2018, 15:21 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
04 июн 2017, 11:00
Сообщений: 250
Cпасибо сказано: 98
Спасибо получено:
34 раз в 28 сообщениях
Очков репутации: -124

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson писал(а):
Ну это Вы лукавите.
dr Watson
И в мыслях не было. Честно говоря, про эту рекуррентную формулу не знала. Щаз попробую.
За наводку спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл от рациональной дроби
СообщениеДобавлено: 04 окт 2018, 15:54 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть ещё эффектный способ - дифференцирование по параметру функции: [math]f(a)=-\int \frac{ dx }{ x^2+a }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Claudia
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл от рациональной дроби
СообщениеДобавлено: 04 окт 2018, 16:00 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]Claudia,[/math]
Этого интеграла можно взять и через субституцию [math]x = \operatorname{tg}{t}[/math]
[math]dx = \frac{ dt }{ \cos^2{t} }[/math]
Тогда этот интеграл превратиться в [math]\int \frac{ 1 }{ \cos^2{t} } \cdot \frac{ dt }{( \operatorname{tg}^2{t} +1)^2 } = \int \cos^2{t} dt[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
Claudia
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл от рациональной дроби
СообщениеДобавлено: 04 окт 2018, 19:20 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно так. Метод Остроградского

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл от рациональной дроби
СообщениеДобавлено: 04 окт 2018, 22:06 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3370
Cпасибо сказано: 571
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Claudia писал(а):
Здраствуйте.
В курсовом расчёте надо было мне вычислить интеграл [math]\large \int \frac {dx}{\left (x^2+1\right )^2}[/math]
Я его легко взяла численно,


А как можно численно взять неопределенный интеграл?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл от рациональной дроби
СообщениеДобавлено: 04 окт 2018, 23:01 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1593
Cпасибо сказано: 420
Спасибо получено:
364 раз в 305 сообщениях
Очков репутации: 80

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А можно разбить подынтегральную дробь на две:

[math]\displaystyle \frac{1}{(x^2+1)^2}=\frac{1+x^2-x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{1}{x^2+1}-\frac{x^2}{(x^2+1)^2}[/math]

А теперь видно, что интеграл от первой дроби табличный - это [math]\operatorname{arctg}x[/math], а интеграл от второй дроби элементарно берётся по частям.
Подобный приём частенько встречается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл от рациональной дроби
СообщениеДобавлено: 05 окт 2018, 09:22 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
04 июн 2017, 11:00
Сообщений: 250
Cпасибо сказано: 98
Спасибо получено:
34 раз в 28 сообщениях
Очков репутации: -124

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar писал(а):
А как можно численно взять неопределенный интеграл?

Не, там конечно были пределы интегрирования. Это я лоханулась, просто тут я выложила интеграл как неопределённый. Мне просто стало интересно, вычисляется он аналитически или нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интеграл от рациональной дроби

в форуме Интегральное исчисление

Vusal

8

452

16 июн 2015, 17:23

Интеграл рациональной дроби в иррациональной степени

в форуме Интегральное исчисление

Svennko

3

307

10 окт 2016, 22:00

Интегрирование рациональной дроби

в форуме Интегральное исчисление

nastya597

1

349

10 июн 2014, 18:43

Интегрирование рациональной дроби

в форуме Интегральное исчисление

dencil

2

369

01 июн 2014, 13:37

Интеграл от рациональной функции

в форуме Интегральное исчисление

eleks

2

124

30 сен 2023, 23:29

Найти интеграл рациональной функции

в форуме Интегральное исчисление

LONGO

1

177

22 фев 2019, 18:59

Неопределенный интеграл от рациональной функции

в форуме Интегральное исчисление

anpe0681

2

335

04 мар 2017, 02:18

Найти неопределенный интеграл от рациональной функции

в форуме Интегральное исчисление

baton

9

199

16 май 2020, 21:48

Найти неопределённый интеграл от дробно-рациональной функции

в форуме Интегральное исчисление

Oksana213015

3

175

22 фев 2021, 22:57

Интеграл дроби

в форуме Интегральное исчисление

kiillthis

2

207

18 мар 2018, 23:41


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved