Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
TNowiz |
|
|
[math]\int \frac{ x^{10} }{ \sqrt{x^{2}+1 } }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Понижаете степень при х интегрированием по частям. А при чем тут метод неопределенных коэффициентов?
Интересная получается цепочка зацепляющихся интегралов. Чтобы вычислить [math]\int \frac{ x^{10}dx }{ \sqrt{1+x^2} }[/math], надо найти [math]\int \frac{ x^{8}dx }{ \sqrt{1+x^2} }[/math], а чтобы найти последний, надо знать [math]\int \frac{ x^{6}dx }{ \sqrt{1+x^2} }[/math],...,[math]\int \frac{ x^{2}dx }{ \sqrt{1+x^2} }[/math], [math]\int \frac{dx }{ \sqrt{1+x^2} }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
FEBUS |
|
|
[math]x=\operatorname{sh}t[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
[math]x=tg(t)\, ; \quad dx=\frac{dt}{\cos^2(t)}[/math]
[math]\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{\cos(t)}\, ; \quad dt=arctg(x)[/math] Остается взять интеграл [math]\int \frac{tg^{10}(t)}{\cos(t)}dt[/math] Можно понизить степень [math]\int sec(t)[sec^2(t)-1]^5\,dt[/math] Далее - бином Ньютона... Решение дальнейшее, конечно, долгое. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Начнем с вычисления [math]\int \frac{ x^2 dx}{ \sqrt{x^2+1} } =\int \frac{ (x^2 +1)dx}{ \sqrt{x^2+1} }-\int \frac{dx }{ \sqrt{x^2+1} }=\int{ \sqrt{x^2+1} dx }-\int \frac{dx }{ \sqrt{x^2+1} }=x\sqrt{x^2+1}-\int \frac{ x^2 dx}{ \sqrt{x^2+1} }-ln(x+\sqrt{x^2+1})[/math]. Откуда имеем: [math]A=\int \frac{ x^2 dx}{ \sqrt{x^2+1} } =\frac{ x\sqrt{x^2+1} -ln(x+\sqrt{x^2+1})}{ 2}[/math].
Перейдем к следующему интегралу: [math]\int \frac{ x^4 dx}{ \sqrt{x^2+1} } =\int \frac{ x^2(x^2 +1)dx}{ \sqrt{x^2+1} }-\int \frac{x^2dx }{ \sqrt{x^2+1} }=\int \frac{ x^2(x^2 +1)dx}{ \sqrt{x^2+1} }-\int \frac{x^2dx }{ \sqrt{x^2+1} }=\int{x^2 \sqrt{x^2+1} dx }-A=\frac{ x^3\sqrt{x^2+1} }{ 3 } -\frac{ 1 }{ 3 } \int \frac{ x^4 dx}{ \sqrt{x^2+1} } -A[/math]. Откуда имеем [math]B=\int \frac{ x^4 dx}{ \sqrt{x^2+1} } =\frac{ 1 }{ 4 } \left( x^3\sqrt{x^2+1}-3A \right)[/math]. Механизм перехода к следующим четным степеням в числителе исходного интеграла достаточно очевиден |
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
Wolfram дает такой результат:
[math]\frac{x \sqrt{x^2+1}\left(128 x^8-144 x^6+168 x^4-210 x^2+315\right)-315 \operatorname{arsh}(x)}{1280}[/math] Может быть, действительно применить метод неопределенных коэффициентов? Иначе это извращение какое-то. Еще бы сотую степень поставили. Например, что если искать ответ в виде: [math]\left( \sqrt{x^2+1} \right) \cdot \left( \sum\limits_{k = 0}^{n} c_k x^{2k + 1} \right) + A \cdot \operatorname{arsh}(x)[/math] ? Нечетная степень многочлена оправдана тем, что подынтегральная функция четная. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали: michel |
||
michel |
|
|
Мне кажется, что здесь возникает рекуррентная схема, тогда можно и до сотой степени дойти!
|
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
Дойти, безусловно, можно и до миллионной. Вопрос в том, сколько на это уйдет времени.
Сейчас довел свою схему до конца. Получилось достаточно просто. Дифференцируем, приравниваем к подынтегральной функции. Сразу видно, что [math]n = 4[/math]. Дальше возникает простое рекуррентное соотношение для коэффициентов. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
По-моему догадался, как брать интеграл методом неопределенных коэффициентов. Положим, что будем искать решение в виде:
[math]x\sqrt{x^2+1}(ax^8+bx^6+cx^4+dx^2+f)+k\cdot \ln(x+\sqrt{x^2+1})[/math] Производная этого чуда [math]\frac{10ax^{10}+(9a+8b)x^8+(7b+6c)x^6+(5c+4d)x^4+(3d+2f)x^2+f+k}{\sqrt{x^2+1}}[/math] Сопоставляем с подинтегральным выражением: Сразу получаем [math]a=\frac{1}{10}[/math] Далее последовательно: [math]b=-\frac{9}{10\cdot 8}\, ; \quad c=\frac{9\cdot 7}{10 \cdot 8\cdot 6}[/math] [math]d=-\frac{9\cdot 7\cdot 5}{10\cdot 8\cdot 6\cdot 4}\, ; \quad f=\frac{9\cdot 7\cdot 5\cdot 3}{10\cdot 8\cdot 6\cdot 4\cdot 2}\,;\quad k=-f[/math] Если подставим, то производная от решения сопадает с подинтегральной: http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x*sqrt(x%5E2%2B1)*(x%5E8%2F10-9*x%5E6%2F(10*8)%2B9*7*x%5E4%2F(10*8*6)-9*7*5*x%5E2%2F(10*8*6*4)%2B9*7*5*3%2F(10*8*6*4*2))-9*7*5*3%2F(10*8*6*4*2)*ln(x%2Bsqrt(x%5E2%2B1)))%27 |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: michel |
||
Tantan |
|
|
TNowiz писал(а): Никогда не сталкивался. Через замену не получается. [math]\int \frac{ x^{10} }{ \sqrt{x^{2}+1 } }dx[/math] [math]\int \frac{ x^{10} }{ \sqrt{x^{n}+1 } }dx[/math] -это класический случай дифференциального бинома , третего типа. У Вас [math]m = 10, n = 2, p = -\frac{ 1 }{ 2 } \Rightarrow \frac{ m + 1 }{ n } + p[/math], целое число ([math]\frac{ 10 + 1 }{ 2 } - \frac{ 1 }{ 2 } = \frac{ 10 }{2 } = 5)[/math]. От сюда [math]\int x^{m}(x^n + 1)^pdx = \frac{ 1 }{ m +np +1 }[x^{m - n +1}(x^{n} + 1)^{p+1} - (m -n + 1)\int x^{m-n}(x^{n} + 1)^pdx][/math] Конкретно для Вашему интегралу [math]\int \frac{ x^{10} }{ \sqrt{x^{2}+1 } }dx = \frac{ 1 }{ 10 + 2(-\frac{ 1 }{ 2 }) + 1 }[x^{10 -2 +1}(x^{2} + 1)^{-\frac{ 1 }{ 2 } +1} - (10 -2 +1)\int \frac{x^{10 - 2} }{ \sqrt{x^{2}+1} }dx] = \frac{ 1 }{ 10 } x^{9}\sqrt{x^{2} + 1} - \frac{ 9 }{ 10 } \int \frac{x^{8} }{ \sqrt{x^{2}+1} }dx[/math] И так как уже писали надо рекурсивно, пока достигнуть [math]\int \frac{ dx }{ \sqrt{x^{2}+1} }dx[/math] А него найти легко, если положить [math]x = \operatorname{tg}{t} \Rightarrow dx = \frac{ dt }{ \cos^2{t} }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Неопределенный интеграл методом неопределенных коэффициентов
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
362 |
25 апр 2018, 15:25 |
|
Неполадки с методом неопределенных коэффициентов
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
421 |
03 мар 2017, 19:52 |
|
Метод неопределенных коэффициентов | 7 |
431 |
21 апр 2023, 00:13 |
|
Метод неопределённых коэффициентов
в форуме Алгебра |
7 |
499 |
01 дек 2016, 17:43 |
|
Решение по методу неопределённых коэффициентов | 2 |
277 |
27 май 2015, 19:12 |
|
Метод неопределенных коэффициентов, кубические уравнения
в форуме Алгебра |
16 |
435 |
05 мар 2022, 17:03 |
|
ЛНДУ методом неопределенных коэффицентов | 3 |
279 |
14 фев 2017, 00:06 |
|
Интегралы методом неопределенных коэфицентов.
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
155 |
22 дек 2020, 12:13 |
|
Аппроксимация методом неопределенных коэфициентов
в форуме Численные методы |
1 |
294 |
28 мар 2018, 01:08 |
|
Как это решить методом неопределенных коэффециэнтов
в форуме Интегральное исчисление |
6 |
308 |
08 май 2016, 11:18 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 28 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |