Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интеграл методом неопределенных коэффициентов
СообщениеДобавлено: 12 июн 2018, 01:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 июн 2018, 01:11
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Никогда не сталкивался. Через замену не получается.

[math]\int \frac{ x^{10} }{ \sqrt{x^{2}+1 } }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл методом неопределенных коэффициентов
СообщениеДобавлено: 12 июн 2018, 01:35 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2750 раз в 2538 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Понижаете степень при х интегрированием по частям. А при чем тут метод неопределенных коэффициентов?
Интересная получается цепочка зацепляющихся интегралов. Чтобы вычислить [math]\int \frac{ x^{10}dx }{ \sqrt{1+x^2} }[/math], надо найти [math]\int \frac{ x^{8}dx }{ \sqrt{1+x^2} }[/math], а чтобы найти последний, надо знать [math]\int \frac{ x^{6}dx }{ \sqrt{1+x^2} }[/math],...,[math]\int \frac{ x^{2}dx }{ \sqrt{1+x^2} }[/math], [math]\int \frac{dx }{ \sqrt{1+x^2} }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл методом неопределенных коэффициентов
СообщениеДобавлено: 12 июн 2018, 03:02 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
363 раз в 299 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]x=\operatorname{sh}t[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл методом неопределенных коэффициентов
СообщениеДобавлено: 12 июн 2018, 09:21 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]x=tg(t)\, ; \quad dx=\frac{dt}{\cos^2(t)}[/math]

[math]\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{\cos(t)}\, ; \quad dt=arctg(x)[/math]

Остается взять интеграл [math]\int \frac{tg^{10}(t)}{\cos(t)}dt[/math]

Можно понизить степень

[math]\int sec(t)[sec^2(t)-1]^5\,dt[/math]

Далее - бином Ньютона... Решение дальнейшее, конечно, долгое.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл методом неопределенных коэффициентов
СообщениеДобавлено: 12 июн 2018, 11:25 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2750 раз в 2538 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Начнем с вычисления [math]\int \frac{ x^2 dx}{ \sqrt{x^2+1} } =\int \frac{ (x^2 +1)dx}{ \sqrt{x^2+1} }-\int \frac{dx }{ \sqrt{x^2+1} }=\int{ \sqrt{x^2+1} dx }-\int \frac{dx }{ \sqrt{x^2+1} }=x\sqrt{x^2+1}-\int \frac{ x^2 dx}{ \sqrt{x^2+1} }-ln(x+\sqrt{x^2+1})[/math]. Откуда имеем: [math]A=\int \frac{ x^2 dx}{ \sqrt{x^2+1} } =\frac{ x\sqrt{x^2+1} -ln(x+\sqrt{x^2+1})}{ 2}[/math].
Перейдем к следующему интегралу: [math]\int \frac{ x^4 dx}{ \sqrt{x^2+1} } =\int \frac{ x^2(x^2 +1)dx}{ \sqrt{x^2+1} }-\int \frac{x^2dx }{ \sqrt{x^2+1} }=\int \frac{ x^2(x^2 +1)dx}{ \sqrt{x^2+1} }-\int \frac{x^2dx }{ \sqrt{x^2+1} }=\int{x^2 \sqrt{x^2+1} dx }-A=\frac{ x^3\sqrt{x^2+1} }{ 3 } -\frac{ 1 }{ 3 } \int \frac{ x^4 dx}{ \sqrt{x^2+1} } -A[/math]. Откуда имеем [math]B=\int \frac{ x^4 dx}{ \sqrt{x^2+1} } =\frac{ 1 }{ 4 } \left( x^3\sqrt{x^2+1}-3A \right)[/math]. Механизм перехода к следующим четным степеням в числителе исходного интеграла достаточно очевиден

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл методом неопределенных коэффициентов
СообщениеДобавлено: 12 июн 2018, 12:00 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Wolfram дает такой результат:

[math]\frac{x \sqrt{x^2+1}\left(128 x^8-144 x^6+168 x^4-210 x^2+315\right)-315 \operatorname{arsh}(x)}{1280}[/math]

Может быть, действительно применить метод неопределенных коэффициентов? Иначе это извращение какое-то. Еще бы сотую степень поставили.

Например, что если искать ответ в виде:

[math]\left( \sqrt{x^2+1} \right) \cdot \left( \sum\limits_{k = 0}^{n} c_k x^{2k + 1} \right) + A \cdot \operatorname{arsh}(x)[/math] ?

Нечетная степень многочлена оправдана тем, что подынтегральная функция четная.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл методом неопределенных коэффициентов
СообщениеДобавлено: 12 июн 2018, 12:06 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2750 раз в 2538 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мне кажется, что здесь возникает рекуррентная схема, тогда можно и до сотой степени дойти!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл методом неопределенных коэффициентов
СообщениеДобавлено: 12 июн 2018, 12:22 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дойти, безусловно, можно и до миллионной. Вопрос в том, сколько на это уйдет времени.

Сейчас довел свою схему до конца. Получилось достаточно просто. Дифференцируем, приравниваем к подынтегральной функции. Сразу видно, что [math]n = 4[/math]. Дальше возникает простое рекуррентное соотношение для коэффициентов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл методом неопределенных коэффициентов
СообщениеДобавлено: 12 июн 2018, 13:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По-моему догадался, как брать интеграл методом неопределенных коэффициентов. Положим, что будем искать решение в виде:

[math]x\sqrt{x^2+1}(ax^8+bx^6+cx^4+dx^2+f)+k\cdot \ln(x+\sqrt{x^2+1})[/math]

Производная этого чуда

[math]\frac{10ax^{10}+(9a+8b)x^8+(7b+6c)x^6+(5c+4d)x^4+(3d+2f)x^2+f+k}{\sqrt{x^2+1}}[/math]

Сопоставляем с подинтегральным выражением: Сразу получаем [math]a=\frac{1}{10}[/math]

Далее последовательно: [math]b=-\frac{9}{10\cdot 8}\, ; \quad c=\frac{9\cdot 7}{10 \cdot 8\cdot 6}[/math]

[math]d=-\frac{9\cdot 7\cdot 5}{10\cdot 8\cdot 6\cdot 4}\, ; \quad f=\frac{9\cdot 7\cdot 5\cdot 3}{10\cdot 8\cdot 6\cdot 4\cdot 2}\,;\quad k=-f[/math]

Если подставим, то производная от решения сопадает с подинтегральной:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x*sqrt(x%5E2%2B1)*(x%5E8%2F10-9*x%5E6%2F(10*8)%2B9*7*x%5E4%2F(10*8*6)-9*7*5*x%5E2%2F(10*8*6*4)%2B9*7*5*3%2F(10*8*6*4*2))-9*7*5*3%2F(10*8*6*4*2)*ln(x%2Bsqrt(x%5E2%2B1)))%27

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл методом неопределенных коэффициентов
СообщениеДобавлено: 12 июн 2018, 13:36 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
TNowiz писал(а):
Никогда не сталкивался. Через замену не получается.

[math]\int \frac{ x^{10} }{ \sqrt{x^{2}+1 } }dx[/math]


[math]\int \frac{ x^{10} }{ \sqrt{x^{n}+1 } }dx[/math] -это класический случай дифференциального бинома , третего типа. У Вас [math]m = 10, n = 2, p = -\frac{ 1 }{ 2 } \Rightarrow \frac{ m + 1 }{ n } + p[/math], целое число

([math]\frac{ 10 + 1 }{ 2 } - \frac{ 1 }{ 2 } = \frac{ 10 }{2 } = 5)[/math].

От сюда [math]\int x^{m}(x^n + 1)^pdx = \frac{ 1 }{ m +np +1 }[x^{m - n +1}(x^{n} + 1)^{p+1} - (m -n + 1)\int x^{m-n}(x^{n} + 1)^pdx][/math]
Конкретно для Вашему интегралу
[math]\int \frac{ x^{10} }{ \sqrt{x^{2}+1 } }dx = \frac{ 1 }{ 10 + 2(-\frac{ 1 }{ 2 }) + 1 }[x^{10 -2 +1}(x^{2} + 1)^{-\frac{ 1 }{ 2 } +1} - (10 -2 +1)\int \frac{x^{10 - 2} }{ \sqrt{x^{2}+1} }dx] = \frac{ 1 }{ 10 } x^{9}\sqrt{x^{2} + 1} - \frac{ 9 }{ 10 } \int \frac{x^{8} }{ \sqrt{x^{2}+1} }dx[/math]
И так как уже писали надо рекурсивно, пока достигнуть [math]\int \frac{ dx }{ \sqrt{x^{2}+1} }dx[/math]
А него найти легко, если положить [math]x = \operatorname{tg}{t} \Rightarrow dx = \frac{ dt }{ \cos^2{t} }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Неопределенный интеграл методом неопределенных коэффициентов

в форуме Интегральное исчисление

ArSSSen

1

362

25 апр 2018, 15:25

Неполадки с методом неопределенных коэффициентов

в форуме Интегральное исчисление

crazymadman18

3

421

03 мар 2017, 19:52

Метод неопределенных коэффициентов

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

BrODYGA1

7

431

21 апр 2023, 00:13

Метод неопределённых коэффициентов

в форуме Алгебра

Lana67

7

499

01 дек 2016, 17:43

Решение по методу неопределённых коэффициентов

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

sdsdf

2

277

27 май 2015, 19:12

Метод неопределенных коэффициентов, кубические уравнения

в форуме Алгебра

TsaAst

16

435

05 мар 2022, 17:03

ЛНДУ методом неопределенных коэффицентов

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

distvamp

3

279

14 фев 2017, 00:06

Интегралы методом неопределенных коэфицентов.

в форуме Интегральное исчисление

MamkaCTuFJlepa

2

155

22 дек 2020, 12:13

Аппроксимация методом неопределенных коэфициентов

в форуме Численные методы

Flakon

1

294

28 мар 2018, 01:08

Как это решить методом неопределенных коэффециэнтов

в форуме Интегральное исчисление

ura_mozg

6

308

08 май 2016, 11:18


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 32


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved