Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Как понять, каким образом решать интеграл?
СообщениеДобавлено: 10 июн 2018, 13:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 мар 2015, 10:50
Сообщений: 19
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\int\limits_{0}^{ \pi \slash 2} cos^{6}x * cos6x dx[/math]

Необходимо решить такой интеграл.
Что я делал:
- Замены. cos6x = t; 6x = t.
- Пытался интегрировать по частям: [math]u = \cos^{6}x[/math], [math]dv = \cos{6x} dx[/math]

Теоретически так решается, но это занимает несколько страниц А4.
Есть какой-то хитрый способ решить такой интеграл покороче? Или универсальная замена?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как понять, каким образом решать интеграл?
СообщениеДобавлено: 10 июн 2018, 14:11 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Совсем хитрого нет, но можно к шестой степени применить формулу куба косинуса, после чего результат возвести в квадрат. Затем квадраты раскладывать по формулам понижения степени, а произведения косинусов заменять их соответствующими суммами. Вместо нескольких листов получается только один:


[math]\begin{gathered}
\int {{{\cos }^6}x\cos 6xdx} = \int {{{\left( {\frac{3}{4}\cos x + \frac{1}{4}\cos 3x} \right)}^2}\cos 6xdx} = \int {{{\left( {\frac{9}{{16}}{{\cos }^2}x - \frac{3}{8}\cos x\cos 3x + \frac{1}{{16}}{{\cos }^2}3x} \right)}^2}\cos 6xdx} = \hfill \\
= \int {\left( {\frac{9}{{16}}\left( {\frac{1}{2}(1 + \cos 2x} \right) - \frac{3}{8}\left( {\frac{1}{2}\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right)} \right) + \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{2}(1 + \cos 6x)} \right)} \right)\cos 6xdx} = \hfill \\
= \int {\left( {\frac{9}{{32}} + \frac{9}{{32}}\cos 2x - \frac{3}{{16}}\cos 4x - \frac{3}{{16}}\cos 2x + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{32}}\cos 6x} \right)\cos 6xdx} = = \hfill \\
= \int {\left( {\frac{5}{{16}} + \frac{3}{{32}}\cos 2x - \frac{3}{{16}}\cos 4x + \frac{1}{{32}}\cos 6x} \right)\cos 6xdx} = \hfill \\
= \int {\left( {\frac{5}{{16}}\cos 6x + \frac{3}{{32}}\cos 2x\cos 6x - \frac{3}{{16}}\cos 4x\cos 6x + \frac{1}{{32}}{{\cos }^2}6x} \right)dx} = \hfill \\
= \int {\left( {\frac{{5\cos 6x}}{{16}} + \frac{3}{{32}}\left( {\frac{{\cos 8x}}{2} + \frac{{\cos 4x}}{2}} \right) - \frac{3}{{16}}\left( {\frac{{\cos 10x}}{2} + \frac{{\cos 2x}}{2}} \right) + \frac{1}{{32}}\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\cos 12x}}{2}} \right)} \right)dx} = \hfill \\
= \int {\left( {\frac{{5\cos 6x}}{{16}} + \frac{{3\cos 8x}}{{64}} + \frac{{3\cos 4x}}{{64}} - \frac{{3\cos 10x}}{{32}} - \frac{{3\cos 2x}}{{32}} + \frac{1}{{64}} + \frac{{\cos 12x}}{{64}}} \right)dx} \hfill \\
\end{gathered}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю underline "Спасибо" сказали:
Timebird
 Заголовок сообщения: Re: Как понять, каким образом решать интеграл?
СообщениеДобавлено: 10 июн 2018, 14:18 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]underline,[/math]
после второго равенства по моему надо быть [math]+\frac{ 3 }{ 8 } \cos{x}\cos{3x}[/math], а не
[math]- \frac{ 3 }{ 8 } \cos{x}\cos{3x}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как понять, каким образом решать интеграл?
СообщениеДобавлено: 10 июн 2018, 14:21 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan
Да, точно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как понять, каким образом решать интеграл?
СообщениеДобавлено: 10 июн 2018, 15:27 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Компьютер показывает ответ [math]\frac{\pi}{128}[/math]. Что как-бы намекает, что интеграл от периодической части зануляется.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Timebird
 Заголовок сообщения: Re: Как понять, каким образом решать интеграл?
СообщениеДобавлено: 10 июн 2018, 18:16 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
363 раз в 299 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Элементарно сводится к табличным. Например,
[math]\frac{ 1 }{8 }\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos{2x})^{3}(4\cos^{3}{2x}-3\cos{2x})dx = \; ...[/math]
Или
[math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{6}{x}(32\cos^{6}{x}-48\cos^{4}{x}+ 18\cos^{2}{x}-1)dx = \; ...[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как понять, каким образом решать интеграл?
СообщениеДобавлено: 10 июн 2018, 19:30 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ясно, что подынтегральное выражение равно [math]A_0+A_1\cos 2x +A_2\cos 4x+...[/math] . Ясно, что интеграл от косинусов равен нулю, в следствии симметрии косинусов относительно [math]\pi /4[/math] . Ясно, что [math]A_0[/math] равно значению подынтегральной функции в [math]\pi /4[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Timebird
 Заголовок сообщения: Re: Как понять, каким образом решать интеграл?
СообщениеДобавлено: 12 июн 2018, 00:30 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
Вы немного ошиблись:
[math]A_0=\frac{1}{64}[/math] но это не значение подинтегральной функции в указанной Вами точке, ведь например [math]cos(4\frac{\pi}{4})[/math] в ней не 0.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Даже не представляю каким образом это решать.

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

nikpasternak

20

600

15 окт 2017, 18:46

Каким образом решать системы такого вида?

в форуме Дискуссионные математические проблемы

vasyassh

1

123

09 окт 2023, 10:36

Каким образом мы выражаем х?

в форуме Интегральное исчисление

Hooperson

1

482

10 май 2015, 22:58

Каким образом Оля добилась делимости на 33?

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Xenia1996

8

127

12 мар 2024, 16:42

каким образом x переместился в знаменатель числителя?

в форуме Дифференциальное исчисление

Hooperson

2

375

27 апр 2015, 23:35

Объясните каким образом считать формулу

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Asisai

3

435

19 май 2014, 18:01

Каким образом вектор вошел в производную?

в форуме Дифференциальное исчисление

Hearthstoner

0

160

14 ноя 2018, 20:25

Каким образом получена данная формула?

в форуме Тригонометрия

tlt

3

343

18 янв 2019, 18:06

Каким образом коронавирус SARS-CoV-2 проникает внутрь клетки

в форуме Химия и Биология

searcher

4

515

08 мар 2020, 13:30

Каким образом можно быстро решить данное уравнение?

в форуме Алгебра

Chemist0

2

331

03 май 2015, 18:32


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved