Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Timebird |
|
|
Необходимо решить такой интеграл. Что я делал: - Замены. cos6x = t; 6x = t. - Пытался интегрировать по частям: [math]u = \cos^{6}x[/math], [math]dv = \cos{6x} dx[/math] Теоретически так решается, но это занимает несколько страниц А4. Есть какой-то хитрый способ решить такой интеграл покороче? Или универсальная замена? |
||
Вернуться к началу | ||
underline |
|
|
Совсем хитрого нет, но можно к шестой степени применить формулу куба косинуса, после чего результат возвести в квадрат. Затем квадраты раскладывать по формулам понижения степени, а произведения косинусов заменять их соответствующими суммами. Вместо нескольких листов получается только один:
[math]\begin{gathered} \int {{{\cos }^6}x\cos 6xdx} = \int {{{\left( {\frac{3}{4}\cos x + \frac{1}{4}\cos 3x} \right)}^2}\cos 6xdx} = \int {{{\left( {\frac{9}{{16}}{{\cos }^2}x - \frac{3}{8}\cos x\cos 3x + \frac{1}{{16}}{{\cos }^2}3x} \right)}^2}\cos 6xdx} = \hfill \\ = \int {\left( {\frac{9}{{16}}\left( {\frac{1}{2}(1 + \cos 2x} \right) - \frac{3}{8}\left( {\frac{1}{2}\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right)} \right) + \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{2}(1 + \cos 6x)} \right)} \right)\cos 6xdx} = \hfill \\ = \int {\left( {\frac{9}{{32}} + \frac{9}{{32}}\cos 2x - \frac{3}{{16}}\cos 4x - \frac{3}{{16}}\cos 2x + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{32}}\cos 6x} \right)\cos 6xdx} = = \hfill \\ = \int {\left( {\frac{5}{{16}} + \frac{3}{{32}}\cos 2x - \frac{3}{{16}}\cos 4x + \frac{1}{{32}}\cos 6x} \right)\cos 6xdx} = \hfill \\ = \int {\left( {\frac{5}{{16}}\cos 6x + \frac{3}{{32}}\cos 2x\cos 6x - \frac{3}{{16}}\cos 4x\cos 6x + \frac{1}{{32}}{{\cos }^2}6x} \right)dx} = \hfill \\ = \int {\left( {\frac{{5\cos 6x}}{{16}} + \frac{3}{{32}}\left( {\frac{{\cos 8x}}{2} + \frac{{\cos 4x}}{2}} \right) - \frac{3}{{16}}\left( {\frac{{\cos 10x}}{2} + \frac{{\cos 2x}}{2}} \right) + \frac{1}{{32}}\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\cos 12x}}{2}} \right)} \right)dx} = \hfill \\ = \int {\left( {\frac{{5\cos 6x}}{{16}} + \frac{{3\cos 8x}}{{64}} + \frac{{3\cos 4x}}{{64}} - \frac{{3\cos 10x}}{{32}} - \frac{{3\cos 2x}}{{32}} + \frac{1}{{64}} + \frac{{\cos 12x}}{{64}}} \right)dx} \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю underline "Спасибо" сказали: Timebird |
||
Tantan |
|
|
[math]underline,[/math]
после второго равенства по моему надо быть [math]+\frac{ 3 }{ 8 } \cos{x}\cos{3x}[/math], а не [math]- \frac{ 3 }{ 8 } \cos{x}\cos{3x}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
underline |
|
|
Tantan
Да, точно. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Компьютер показывает ответ [math]\frac{\pi}{128}[/math]. Что как-бы намекает, что интеграл от периодической части зануляется.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: Timebird |
||
FEBUS |
|
|
Элементарно сводится к табличным. Например,
[math]\frac{ 1 }{8 }\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos{2x})^{3}(4\cos^{3}{2x}-3\cos{2x})dx = \; ...[/math] Или [math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{6}{x}(32\cos^{6}{x}-48\cos^{4}{x}+ 18\cos^{2}{x}-1)dx = \; ...[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Ясно, что подынтегральное выражение равно [math]A_0+A_1\cos 2x +A_2\cos 4x+...[/math] . Ясно, что интеграл от косинусов равен нулю, в следствии симметрии косинусов относительно [math]\pi /4[/math] . Ясно, что [math]A_0[/math] равно значению подынтегральной функции в [math]\pi /4[/math] .
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: Timebird |
||
Slon |
|
|
searcher
Вы немного ошиблись: [math]A_0=\frac{1}{64}[/math] но это не значение подинтегральной функции в указанной Вами точке, ведь например [math]cos(4\frac{\pi}{4})[/math] в ней не 0. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 8 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |