Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Криволинейный и поверхностный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=60349
Страница 1 из 1

Автор:  cuttheknot [ 05 июн 2018, 11:20 ]
Заголовок сообщения:  Криволинейный и поверхностный интеграл

Здравствуйте! Решаю задачки по матану, по теме криволинейные и поверхностные интегралы, но к сожалению возникли проблемы. Ниже прилагаю задачу и ход решения. Укажите, пожалуйста, где я ошибаюсь и что делаю не так. Заранее спасибо

1)Найти циркуляцию векторного поля [math]a(M)[/math] по контуру Г, двумя способами:
а)непосредственно
б)по Th Стокса.
Решил, но ответы почему-то не совпали.
Мое решение:
Изображение
Изображение

2)Найти поток векторного поля [math]a(M)[/math] через замкнутую поверхность двумя способами:
а)Непосредственно
б)по Th Остроградского-Гаусса
Изображение
Изображение
Изображение
Изображение
Изображение
Изображение

Автор:  slava_psk [ 05 июн 2018, 12:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный и поверхностный интеграл

cuttheknot,
По первой задаче нужно выбрать правильное направление нормали [math]\left( 0,-\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }, \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } \right)[/math]. Тогда ответы совпадут.

Автор:  slava_psk [ 06 июн 2018, 08:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный и поверхностный интеграл

cuttheknot
Во второй задаче нужно посчитать полный поток, через все поверхности выделенной области. Очевидно, что через поверхность на плоскости z0x поток будет нулевым. А вот через поверхность на плоскости х0у нужно посчитать.

Автор:  slava_psk [ 06 июн 2018, 14:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный и поверхностный интеграл

Найдем поток через поверхность области в плоскости х0у. [math]\vec{n}=-\vec{k}[/math]

[math]\Phi _{x0y}=-\iint\limits_{S _{x0y} }dS[/math], т. е. равен минус площади [math]S_{x0y}[/math]. [math]-S_{x0y}=-\int\limits_{-2}^{2}dx \int\limits_{-\sqrt{4-x^{2} } }^{\sqrt{4-x^{2} }}dy=-\frac{ 32 }{ 3 }[/math]. Поэтому полный поток по первому способу получается [math]\frac{ 16 \pi }{ 3 }[/math]
По Остроградскому вы не правильно интегрируете по объему переходя к цилиндрическим координатам. Должно быть так:
[math]\int\limits_{0}^{ \pi }d \varphi \int\limits_{0}^{ 2}dy\int\limits_{0}^{ \sqrt{4-y} }(y+rcos \varphi )rdr =\frac{ 16 \pi }{ 3 }[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/