Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычисление несобственного интеграла
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 20:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 май 2018, 19:56
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\int\limits_{0}^{a}[/math]y[math]\sqrt{\frac{ a+y }{ a-y } }[/math]dy

при вычислении интеграла постоянно выходит, что он расходится, однако задача подразумевает численный ответ, помогите пожалуйста

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление несобственного интеграла
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 21:07 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если нигде не ошибся, то:
[math]\begin{gathered}
\int\limits_0^a {y\sqrt {\frac{{a + y}}{{a - y}}} dy} = \left| \begin{gathered}
t = \sqrt {\frac{{a + y}}{{a - y}}} \hfill \\
y = \frac{{a\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{{t^2} + 1}} \hfill \\
dy = \frac{{2atdt}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right| = \int\limits_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} {\frac{{a\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{{t^2} + 1}}} \frac{{2atdt}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} = {a^2}\int\limits_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} {\frac{{2t\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^3}}}dt} = \hfill \\
= \begin{array}{*{20}{c}}
\vline & {u = {t^2} - 1}&{du = 2tdt}\vline & \\
\vline & {dv = \frac{{2tdt}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^3}}}}&{v = - \frac{1}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}}\vline &
\end{array} = \left. {\left( { - \frac{{{t^2} - 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} + \frac{1}{2}\int\limits_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} {\frac{{2t}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}dt} = \hfill \\
= \left. {\left( { - \frac{{{t^2} - 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} + \frac{1}{2}\int\limits_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} {\frac{{d\left( {{t^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} = \left. {\left( { - \frac{{{t^2} - 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{2\left( {{t^2} + 1} \right)}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} = \hfill \\
= \left. {\left( { - \frac{{{t^2} - 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{{{t^2} + 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} = \left. {\left( { - \frac{{{t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} = - \frac{{{{\left( {\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{{\left( {\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} \right)}^2} + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} = \hfill \\
= \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{{{a^2}{{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}}\frac{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}}{{{a^6} - 2{a^4} + {a^2} + {a^4} + 2{a^2} + 1}} = \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{{{a^2}{{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2}}}{{{a^6} - {a^4} + 3{a^2} + 1}} = \hfill \\
= \frac{{{a^8} - {a^6} + 3{a^4} + {a^2} - {a^{10}} + 2{a^6} - {a^2}}}{{\left( {{a^6} - {a^4} + 3{a^2} + 1} \right){{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{{a^{10}} - {a^8} - 2{a^6} - 3{a^4}}}{{\left( {{a^6} - {a^4} + 3{a^2} + 1} \right){{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} \hfill \\
\end{gathered}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление несобственного интеграла
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 21:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 май 2018, 19:56
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
underline писал(а):
Если нигде не ошибся, то:
[math]\begin{gathered}
\int\limits_0^a {y\sqrt {\frac{{a + y}}{{a - y}}} dy} = \left| \begin{gathered}
t = \sqrt {\frac{{a + y}}{{a - y}}} \hfill \\
y = \frac{{a\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{{t^2} + 1}} \hfill \\
dy = \frac{{2atdt}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right| = \int\limits_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} {\frac{{a\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{{t^2} + 1}}} \frac{{2atdt}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} = {a^2}\int\limits_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} {\frac{{2t\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^3}}}dt} = \hfill \\
= \begin{array}{*{20}{c}}
\vline & {u = {t^2} - 1}&{du = 2tdt}\vline & \\
\vline & {dv = \frac{{2tdt}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^3}}}}&{v = - \frac{1}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}}\vline &
\end{array} = \left. {\left( { - \frac{{{t^2} - 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} + \frac{1}{2}\int\limits_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} {\frac{{2t}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}dt} = \hfill \\
= \left. {\left( { - \frac{{{t^2} - 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} + \frac{1}{2}\int\limits_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} {\frac{{d\left( {{t^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} = \left. {\left( { - \frac{{{t^2} - 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{2\left( {{t^2} + 1} \right)}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} = \hfill \\
= \left. {\left( { - \frac{{{t^2} - 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{{{t^2} + 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} = \left. {\left( { - \frac{{{t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} = - \frac{{{{\left( {\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{{\left( {\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} \right)}^2} + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} = \hfill \\
= \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{{{a^2}{{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}}\frac{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}}{{{a^6} - 2{a^4} + {a^2} + {a^4} + 2{a^2} + 1}} = \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{{{a^2}{{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2}}}{{{a^6} - {a^4} + 3{a^2} + 1}} = \hfill \\
= \frac{{{a^8} - {a^6} + 3{a^4} + {a^2} - {a^{10}} + 2{a^6} - {a^2}}}{{\left( {{a^6} - {a^4} + 3{a^2} + 1} \right){{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{{a^{10}} - {a^8} - 2{a^6} - 3{a^4}}}{{\left( {{a^6} - {a^4} + 3{a^2} + 1} \right){{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} \hfill \\
\end{gathered}[/math]


после первого преобразования "новые" границы интегрирования считаются неверно, потому что "a" и "0" нужно подставлять в t = [math]\sqrt{\frac{ a+y }{ a-y } }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление несобственного интеграла
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 21:46 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, проглядел. Тогда исправляюсь. Расчет интеграла берется без пределов. Тогда от рассчитанного от t интеграла:
[math]\begin{gathered}
- \frac{{{t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{a + y}}{{a - y}}\frac{1}{{{{\left( {\frac{{a + y}}{{a - y}} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{a + y}}{{a - y}}\frac{{{{\left( {a - y} \right)}^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{y^2} - {a^2}}}{{4{a^2}}} \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{y \to a} \frac{{{y^2} - {a^2}}}{{4{a^2}}} - \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{{y^2} - {a^2}}}{{4{a^2}}} = 0 - \left( { - \frac{1}{4}} \right) = \frac{1}{4} \hfill \\
\end{gathered}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление несобственного интеграла
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 21:47 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
363 раз в 299 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Jekerekeke
Замена [math]\;[/math] [math]y = a\sin{x}[/math].
Тривиальный интеграл.
Ответ:[math]\quad a^2\left( 1+\frac{ \pi }{4 } \right)[/math].


Последний раз редактировалось FEBUS 23 май 2018, 22:43, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление несобственного интеграла
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 22:20 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Jekerekeke писал(а):
[math]\int\limits_{0}^{a}[/math]y[math]\sqrt{\frac{ a+y }{ a-y } }[/math]dy

при вычислении интеграла постоянно выходит, что он расходится, однако задача подразумевает численный ответ, помогите пожалуйста

[math]\int\limits_{0}^{a}y\sqrt{\frac{ a+y }{ a-y } }dy =[/math][math]\int\limits_{0}^{a}y\frac{ a+y }{\sqrt{ a^{2} - y^{2} }}dy =[/math][math]-\frac{ a }{ 2 }\int\limits_{0}^{a}\frac{ d(a^{2} - y^{2}) }{\sqrt{a^{2} - y^{2} }}[/math] [math]+ \int\limits_{0}^{a} \frac{ y^{2} }{ \sqrt{a^{2} - y^{2} } }dy =[/math]

[math]= -a\left.{ \sqrt{a^{2} - y^{2} } }\right|_{ 0 }^{ a } + \int\limits_{0}^{a} \frac{ a^{2}dy }{ \sqrt{a^{2} - y^{2} } } - \int\limits_{0}^{a} \frac{ a^{2} - y^{2} }{ \sqrt{a^{2} - y^{2} } }dy = a^{2} + a^{2} \cdot \left.{\arcsin{\frac{ y }{ a } } }\right|_{ 0 }^{ a } + \int\limits_{0}^{a} \sqrt{a^{2} - y^{2}} dy =[/math]

[math]= a^{2} + \frac{ \pi a^{2} }{ 2 } + \left.{ \frac{ 1 }{ 2 } y\sqrt{a^{2} - y^{2}} }\right|_{ 0 }^{ a } + \frac{ a^{2} }{ 2 }\left.{ \arcsin{\frac{ y }{ a } } }\right|_{ 0 }^{ a } =a^{2} + \frac{ \pi a^{2} }{ 2 } +0 +\frac{ \pi a^{2} }{ 4 } = \frac{ (4+ 3\pi ) }{ 4 } a^{2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление несобственного интеграла
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 22:27 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
странно... у меня так:

Изображение

Проверил численно в Вольфраме:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=int(y*sqrt((5%2By)%2F(5-y)),y%3D0..5)

Это с моим ответом совпадает.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычисление несобственного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Oleg2017

2

252

26 фев 2017, 02:42

Сходимость несобственного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Annasol

4

289

15 мар 2018, 18:28

Сходимость несобственного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

margo1992

4

329

27 май 2014, 14:38

Схождение Несобственного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Mephisto

4

252

26 июл 2022, 21:14

Сходимость несобственного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

HellDiablo322

1

121

13 май 2019, 18:47

Сходимость несобственного интеграла

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

magicmagic

0

288

18 май 2015, 23:35

Сходимость несобственного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

bombochka

2

194

09 май 2020, 22:43

Сходимость несобственного интеграла

в форуме Ряды

tanyhaftv

4

249

08 апр 2021, 22:49

Сходимость несобственного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

351w

12

581

14 мар 2018, 15:03

Определить сходимость несобственного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

margo1992

1

279

25 май 2014, 20:15


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: pirog и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved