Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Jekerekeke |
|
|
при вычислении интеграла постоянно выходит, что он расходится, однако задача подразумевает численный ответ, помогите пожалуйста |
||
Вернуться к началу | ||
underline |
|
|
Если нигде не ошибся, то:
[math]\begin{gathered} \int\limits_0^a {y\sqrt {\frac{{a + y}}{{a - y}}} dy} = \left| \begin{gathered} t = \sqrt {\frac{{a + y}}{{a - y}}} \hfill \\ y = \frac{{a\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{{t^2} + 1}} \hfill \\ dy = \frac{{2atdt}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right| = \int\limits_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} {\frac{{a\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{{t^2} + 1}}} \frac{{2atdt}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} = {a^2}\int\limits_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} {\frac{{2t\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^3}}}dt} = \hfill \\ = \begin{array}{*{20}{c}} \vline & {u = {t^2} - 1}&{du = 2tdt}\vline & \\ \vline & {dv = \frac{{2tdt}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^3}}}}&{v = - \frac{1}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}}\vline & \end{array} = \left. {\left( { - \frac{{{t^2} - 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} + \frac{1}{2}\int\limits_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} {\frac{{2t}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}dt} = \hfill \\ = \left. {\left( { - \frac{{{t^2} - 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} + \frac{1}{2}\int\limits_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} {\frac{{d\left( {{t^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} = \left. {\left( { - \frac{{{t^2} - 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{2\left( {{t^2} + 1} \right)}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} = \hfill \\ = \left. {\left( { - \frac{{{t^2} - 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{{{t^2} + 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} = \left. {\left( { - \frac{{{t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} = - \frac{{{{\left( {\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{{\left( {\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} \right)}^2} + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} = \hfill \\ = \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{{{a^2}{{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}}\frac{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}}{{{a^6} - 2{a^4} + {a^2} + {a^4} + 2{a^2} + 1}} = \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{{{a^2}{{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2}}}{{{a^6} - {a^4} + 3{a^2} + 1}} = \hfill \\ = \frac{{{a^8} - {a^6} + 3{a^4} + {a^2} - {a^{10}} + 2{a^6} - {a^2}}}{{\left( {{a^6} - {a^4} + 3{a^2} + 1} \right){{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{{a^{10}} - {a^8} - 2{a^6} - 3{a^4}}}{{\left( {{a^6} - {a^4} + 3{a^2} + 1} \right){{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Jekerekeke |
|
|
underline писал(а): Если нигде не ошибся, то: [math]\begin{gathered} \int\limits_0^a {y\sqrt {\frac{{a + y}}{{a - y}}} dy} = \left| \begin{gathered} t = \sqrt {\frac{{a + y}}{{a - y}}} \hfill \\ y = \frac{{a\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{{t^2} + 1}} \hfill \\ dy = \frac{{2atdt}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right| = \int\limits_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} {\frac{{a\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{{t^2} + 1}}} \frac{{2atdt}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} = {a^2}\int\limits_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} {\frac{{2t\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^3}}}dt} = \hfill \\ = \begin{array}{*{20}{c}} \vline & {u = {t^2} - 1}&{du = 2tdt}\vline & \\ \vline & {dv = \frac{{2tdt}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^3}}}}&{v = - \frac{1}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}}\vline & \end{array} = \left. {\left( { - \frac{{{t^2} - 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} + \frac{1}{2}\int\limits_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} {\frac{{2t}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}dt} = \hfill \\ = \left. {\left( { - \frac{{{t^2} - 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} + \frac{1}{2}\int\limits_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} {\frac{{d\left( {{t^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} = \left. {\left( { - \frac{{{t^2} - 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{2\left( {{t^2} + 1} \right)}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} = \hfill \\ = \left. {\left( { - \frac{{{t^2} - 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{{{t^2} + 1}}{{2{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} = \left. {\left( { - \frac{{{t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^{\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} = - \frac{{{{\left( {\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{{\left( {\frac{{{a^3} - a}}{{{a^2} + 1}}} \right)}^2} + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} = \hfill \\ = \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{{{a^2}{{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}}\frac{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}}{{{a^6} - 2{a^4} + {a^2} + {a^4} + 2{a^2} + 1}} = \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{{{a^2}{{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2}}}{{{a^6} - {a^4} + 3{a^2} + 1}} = \hfill \\ = \frac{{{a^8} - {a^6} + 3{a^4} + {a^2} - {a^{10}} + 2{a^6} - {a^2}}}{{\left( {{a^6} - {a^4} + 3{a^2} + 1} \right){{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{{a^{10}} - {a^8} - 2{a^6} - 3{a^4}}}{{\left( {{a^6} - {a^4} + 3{a^2} + 1} \right){{\left( {{a^2} + 1} \right)}^2}}} \hfill \\ \end{gathered}[/math] после первого преобразования "новые" границы интегрирования считаются неверно, потому что "a" и "0" нужно подставлять в t = [math]\sqrt{\frac{ a+y }{ a-y } }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
underline |
|
|
Да, проглядел. Тогда исправляюсь. Расчет интеграла берется без пределов. Тогда от рассчитанного от t интеграла:
[math]\begin{gathered} - \frac{{{t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{a + y}}{{a - y}}\frac{1}{{{{\left( {\frac{{a + y}}{{a - y}} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{a + y}}{{a - y}}\frac{{{{\left( {a - y} \right)}^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{y^2} - {a^2}}}{{4{a^2}}} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{y \to a} \frac{{{y^2} - {a^2}}}{{4{a^2}}} - \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{{y^2} - {a^2}}}{{4{a^2}}} = 0 - \left( { - \frac{1}{4}} \right) = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
FEBUS |
|
|
Jekerekeke
Замена [math]\;[/math] [math]y = a\sin{x}[/math]. Тривиальный интеграл. Ответ:[math]\quad a^2\left( 1+\frac{ \pi }{4 } \right)[/math]. Последний раз редактировалось FEBUS 23 май 2018, 22:43, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
Jekerekeke писал(а): [math]\int\limits_{0}^{a}[/math]y[math]\sqrt{\frac{ a+y }{ a-y } }[/math]dy при вычислении интеграла постоянно выходит, что он расходится, однако задача подразумевает численный ответ, помогите пожалуйста [math]\int\limits_{0}^{a}y\sqrt{\frac{ a+y }{ a-y } }dy =[/math][math]\int\limits_{0}^{a}y\frac{ a+y }{\sqrt{ a^{2} - y^{2} }}dy =[/math][math]-\frac{ a }{ 2 }\int\limits_{0}^{a}\frac{ d(a^{2} - y^{2}) }{\sqrt{a^{2} - y^{2} }}[/math] [math]+ \int\limits_{0}^{a} \frac{ y^{2} }{ \sqrt{a^{2} - y^{2} } }dy =[/math] [math]= -a\left.{ \sqrt{a^{2} - y^{2} } }\right|_{ 0 }^{ a } + \int\limits_{0}^{a} \frac{ a^{2}dy }{ \sqrt{a^{2} - y^{2} } } - \int\limits_{0}^{a} \frac{ a^{2} - y^{2} }{ \sqrt{a^{2} - y^{2} } }dy = a^{2} + a^{2} \cdot \left.{\arcsin{\frac{ y }{ a } } }\right|_{ 0 }^{ a } + \int\limits_{0}^{a} \sqrt{a^{2} - y^{2}} dy =[/math] [math]= a^{2} + \frac{ \pi a^{2} }{ 2 } + \left.{ \frac{ 1 }{ 2 } y\sqrt{a^{2} - y^{2}} }\right|_{ 0 }^{ a } + \frac{ a^{2} }{ 2 }\left.{ \arcsin{\frac{ y }{ a } } }\right|_{ 0 }^{ a } =a^{2} + \frac{ \pi a^{2} }{ 2 } +0 +\frac{ \pi a^{2} }{ 4 } = \frac{ (4+ 3\pi ) }{ 4 } a^{2}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
странно... у меня так:
Проверил численно в Вольфраме: https://www.wolframalpha.com/input/?i=int(y*sqrt((5%2By)%2F(5-y)),y%3D0..5) Это с моим ответом совпадает. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: pirog и гости: 24 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |