Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Биномный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=59871
Страница 2 из 2

Автор:  searcher [ 14 май 2018, 20:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Биномный интеграл

tanyhaftv писал(а):
я запуталась,разве я начала не с помощью биномов решать?

Вы решили с помощью биномиальных дифференциалов (3-я подстановка).
tanyhaftv писал(а):
преподаватель треует решение по биномным интегралам.

Тут я не понял. Может всё же дифференциалам?
tanyhaftv писал(а):
ответ через arcsin

Так я же вам ссылку дал в Вики.

Автор:  tanyhaftv [ 14 май 2018, 21:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Биномный интеграл

у меня ответ получился другой
[math]arcsin\frac{ \sqrt{9-x^{2} } }{ 3 }[/math]
а надо [math]arcsin\frac{ x }{ 3}[/math]

Автор:  searcher [ 14 май 2018, 21:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Биномный интеграл

Для проверки можно построить графики разных функций в WolframAlpha.

Автор:  Avgust [ 14 май 2018, 21:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Биномный интеграл

Дифференциаьный бином [math]x^m(a+bx^n)^p[/math]

У Вас: [math]x^2(9-x^2)^{-\frac 12}[/math]

Следовательно:[math]m=2\, ; \, a=9\, ; \, b=-1\, ; \, n=2\,;\, p=-\frac 12[/math]

1) [math]p\,[/math] - не целое число. Отменяется.

2) [math]\frac{m+1}{n}=\frac{2+1}{2}=\frac 32\,[/math] - не целое число. Отменяется.

3) [math]p+\frac{m+1}{n}=-\frac 12+\frac 32=1\,[/math] - ЦЕЛОЕ ЧИСЛО!

Поэтому замена: [math]9x^{-2}-1=t^2[/math]

[math]x^2=\frac{9}{t^2+1}\, ; \, dx=-\frac{3t}{(t^2+1)^{\frac 32}}[/math]

Если все это подставить, то получим интеграл:

[math]-9\int\frac{dt}{(t^2+1)^2}=-\frac 92\cdot \frac{t}{t^2+1}-\frac 92 arctg(t)+C[/math]

Делаем обратную замену [math]t=\sqrt{\frac{9}{x^2}-1}[/math]

[math]- \frac x2 \sqrt{9-x^2}-\frac 92 arctg \left (\frac{\sqrt{9-x^2}}{x} \right )+C[/math]

Ну, а арктангенс легко преобразовать в арксинус

[math]- \frac x2 \sqrt{9-x^2}-\frac 92 \arcsin \left (\frac 13 \sqrt{9-x^2} \right )+C[/math]

Автор:  searcher [ 14 май 2018, 21:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Биномный интеграл

tanyhaftv
У вас ответ верный. Ответ в неопределённом интеграле может отличаться на константу. Как вариант, можете арктангенс выразить через арккосинус (по формуле из ссылки) и воспользоваться тем, что арксинус и минус арккосинус отличаются на константу.
P.S. [math]\arcsin \frac{\sqrt{9-x^2}}{3}=-\arcsin \frac{x}{3}+\pi /2[/math] .

Страница 2 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/