Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Криволинейный и поверхностный интегралы
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=59741
Страница 1 из 1

Автор:  cuttheknot [ 09 май 2018, 15:37 ]
Заголовок сообщения:  Криволинейный и поверхностный интегралы

Добрый день. Помогите решить задачи по теме «Поверхностные и криволинейные интегралы»
Ниже привожу сами задания, а также ход своего решения (решения прикреплены к теме)
Вычислить:
1)[math]\iint\limits_{ S }x^{3}dydz + y^{3}dzdx + z^{3}dxdy[/math], где S внешняя сторона поверхности:
[math](x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1-z, 0<z[/math]

2)[math]\int\limits_{ \gamma } ydx+zdy+xdz[/math], где [math]\gamma = \left\{ z=2x^{2}+y^{2}, 2z-x=1 \right\}[/math], проходимый против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительных x.

Первую прошу просто проверить и указать на ошибки, если они есть. А со второй прошу помощи и совета как продолжить решение. Заранее спасибо!

Изображение
Изображение

Автор:  slava_psk [ 10 май 2018, 13:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный и поверхностный интегралы

cuttheknot
По первой задаче, если верно посчитан конечный интеграл, то верно. Но лучше было бы сразу перейти к новым координатам [math]x^{*}=x-1;y^{*}=y-1;z^{*}=z;[/math].

Автор:  slava_psk [ 10 май 2018, 15:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный и поверхностный интегралы

По второй задаче. [math]rot\vec{u}=-\vec{n_{x} }-\vec{n_{y} }-\vec{n_{z} }[/math]

[math](rot\vec{u},\vec{n})=-\frac{ 1 }{ \sqrt{5} }[/math]. Элемент поверхности [math]dS=\frac{dS _{xy} }{ \frac{ 2 }{\sqrt{5} } }=\frac{ \sqrt{5}dxdy }{ 2 }[/math].
Эллиптический параболоид пересекается плоскостью, проекция поверхности на плоскость x0y будет эллипс: [math]2x^{2}+y^{2}-\frac{ x }{ 2 }= \frac{ 1 }{ 2 }[/math]. Выделяя полный квадрат по х несложно привести это уравнение к каноническому виду:

[math]\frac{ \left( x-\frac{ 1 }{ 8 } \right) ^{2} }{ \frac{ 17 }{ 64 } }+\frac{y ^{2} }{ \frac{ 17 }{ 32 } } =1[/math]; полуоси [math]a^{2}=\frac{ 17 }{ 64 }; b^{2}=\frac{ 17 }{ 32 }[/math]
Отсюда находим площадь нашей поверхности - плоскости отсекаемой параболоидом:

[math]S=\frac{ \pi ab }{ \frac{ 2 }{ \sqrt{5} } }[/math]

[math]\iint\limits_{ S }\left( rot\vec{u},\vec{n} \right)dS=-\frac{ 1 }{ \sqrt{5} } S[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/