Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=59596
Страница 1 из 1

Автор:  md_house [ 02 май 2018, 18:59 ]
Заголовок сообщения:  Найти интеграл

[math]\int\limits_{\frac{ \pi }{ 4 } }^{\arcsin{\frac{ 2 }{ \sqrt{5} } } } \frac{ 4\operatorname{tg}{ \boldsymbol{x} } - 5 }{ 4\cos^{2} { \boldsymbol{x} } - \sin^{2} { \boldsymbol{x} } + 1 }[/math] [math]\boldsymbol{d} \boldsymbol{x}[/math]

Автор:  Avgust [ 02 май 2018, 19:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

Неопределенный интеграл так упрощается

[math]\frac 45 \int \frac{\sin(x)}{\cos^3(x)} dx -\int\frac{dx}{\cos^2(x)}[/math]

Эти интегралы очень легкие.

Автор:  Tantan [ 03 май 2018, 11:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

md_house писал(а):
[math]\int\limits_{\frac{ \pi }{ 4 } }^{\arcsin{\frac{ 2 }{ \sqrt{5} } } } \frac{ 4\operatorname{tg}{ \boldsymbol{x} } - 5 }{ 4\cos^{2} { \boldsymbol{x} } - \sin^{2} { \boldsymbol{x} } + 1 }[/math] [math]\boldsymbol{d} \boldsymbol{x}[/math]

[math]\int\limits_{\frac{ \pi }{ 4 } }^{\arcsin{\frac{ 2 }{ \sqrt{5} } } } \frac{ 4\operatorname{tg}{ \boldsymbol{x} } - 5 }{ 4\cos^{2} { \boldsymbol{x} } - \sin^{2} { \boldsymbol{x} } + 1 }[/math] [math]\boldsymbol{d} \boldsymbol{x} = \int\limits_{\frac{ \pi }{ 4 } }^{\arcsin{\frac{ 2 }{ \sqrt{5} } } } \frac{ 4\operatorname{tg}{ \boldsymbol{x} } - 5 }{ 5\cos^2{x}}dx =\frac{ 2 }{ 5 } \left.{ \operatorname{tg^2}{x} }\right|_{ \frac{ \pi }{ 4 } }^{ \arcsin{\frac{ 2 }{ \sqrt{5} } } } - \left.{ \operatorname{tg}{x} }\right|_{ \frac{ \pi }{ 4 } }^{ \arcsin{\frac{ 2 }{ \sqrt{5} } } } =[/math]

[math]= \frac{ 2 }{ 5 }( \operatorname{tg^2}{(\arcsin{\frac{ 2 }{ \sqrt{5} }})} - \operatorname{tg^2}{ \frac{ \pi }{ 4 } } ) -( \operatorname{tg}{(\arcsin{\frac{ 2 }{ \sqrt{5} }})} - \operatorname{tg}{ \frac{ \pi }{ 4 } } )=\frac{ 2 }{ 5 }(\frac{ \frac{ 2 }{ \sqrt{5} } }{ \sqrt{1 - (\frac{ 2 }{ \sqrt{5} } )^2} })^2 - \frac{ 2 }{ 5 } - \frac{ \frac{ 2 }{ \sqrt{5} } }{ \sqrt{1 - (\frac{ 2 }{ \sqrt{5} } )^2} } + 1 = \frac{ 8 }{ 5 } - \frac{ 2 }{ 5 } - 2 + 1=\frac{ 1 }{ 5 }[/math]
Здесь пользуемся , что [math]\operatorname{tg}{(\arcsin{x} )} = \frac{ x }{ \sqrt{1 - x^2} }[/math], для [math]x \in (-1,1) \land \frac{ 2 }{ \sqrt{5} } \in (-1,1)[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/