Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=59511
Страница 1 из 1

Автор:  Andy [ 29 апр 2018, 08:41 ]
Заголовок сообщения:  Интеграл

На другом форуме, в работе которого я участвую, есть такое задание: найти [math]I(y)=\int\limits_{0}^{1} {\left( 2xy+{y'}^2 \right) \operatorname{d}x}[/math] при условиях [math]y(0)=1,~y(1)=2.[/math] Как нужно выполнять такое задание? Правильно ли я понимаю, что
[math]\int\limits_{0}^{1} {2xy \operatorname{d}x}=2 \int\limits_{0}^{1} {xy \operatorname{d}x}=2 \left( \frac{1}{2} \left.{yx^2}\right|_{0}^{1} -\frac{1}{2} \int\limits_{1}^{2} {x^2 y \operatorname{d}y}\right)=2 \left( \frac{1}{2} (2-0)-\frac{1}{4} \left.{x^2 y^2}\right|_{1}^{2} \right)=2 \left( 1-\frac{1}{4} (4-0)\right)=0,[/math]

[math]\int\limits_{0}^{1} {{y'}^2 \operatorname{d}x}=\int\limits_{0}^{1} {{y'}_x {y'}_x \operatorname{d}x}=\int\limits_{1}^{2} {{y'}_x \operatorname{d}y}=...[/math]?

Если я понимаю это правильно, то как вычислить последний интеграл?

Автор:  michel [ 29 апр 2018, 09:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

У Вас задан функционал от неизвестной функции, который фактически может принимать много значений (вариация функционала). Может быть в условии задачи пропущено требование экстремальности функционала?

Автор:  searcher [ 29 апр 2018, 10:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Функционал мог бы такой, который можно было вычислить. Например, [math]I(y)=\int\limits_{0}^{1} (y'x+y)dy[/math]. Тогда [math]I(y)=1[/math]. Но в данном случае [math]I(y)[/math] реально зависит от [math]y(x)[/math], в чём можно убедиться подставляя в интеграл разные значения [math]y(x)[/math]. Например, [math]y_1(x)=x[/math], [math]y_2(x)=x^2[/math]. Получаем [math]I(y_1)=5/3[/math]. [math]I(y_2)=11/6[/math].

Автор:  searcher [ 29 апр 2018, 12:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Извиняюсь, предыдущий пост писал в предположении, что граничные условия [math]y(0)=0[/math], [math]y(1)=1[/math]. Невнимательно прочёл условие. Однако, это не отменяет выводов.

Автор:  pewpimkin [ 29 апр 2018, 13:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Andy, а адрес другого форума Вы не могли бы дать

Автор:  Andy [ 29 апр 2018, 14:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

michel
michel писал(а):
У Вас задан функционал от неизвестной функции, который фактически может принимать много значений (вариация функционала). Может быть в условии задачи пропущено требование экстремальности функционала?

Спасибо. Я привёл условие таким, каким прочитал его сам. По-видимому, Вы правы.

Автор:  Andy [ 29 апр 2018, 14:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

pewpimkin
pewpimkin писал(а):
Andy, а адрес другого форума Вы не могли бы дать

Вы знаете этот форум. :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/