Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=59099
Страница 1 из 1

Автор:  Belomor4ik [ 08 апр 2018, 19:10 ]
Заголовок сообщения:  Интеграл

Добрый день.
Есть следующий интеграл:
[math]\int\limits_{- \infty}^\infty{{e^{- \frac{{{{(x - \frac{a}{2})}^2}}}{{2*{b^2}}}}}\ln ({e^{\frac{{ax}}{{{b^2}}}}}+ 1)dx}[/math]

Я пробовал решить по частям:
[math]U ={e^{- \frac{{{{(x - \frac{a}{2})}^2}}}{{2*{b^2}}}}}[/math] ,
[math]dV = \ln ({e^{\frac{{ax}}{{{b^2}}}}}+ 1)dx[/math]

Соответственно

[math]dU = - \frac{x}{{{b^2}}}*{e^{- \frac{{{{(x - \frac{a}{2})}^2}}}{{2*{b^2}}}}}[/math]
[math]V = \int\limits_{- \infty}^\infty{\frac{{{b^2}}}{a}\ln ({e^{\frac{{ax}}{{{b^2}}}}}+ 1)d\frac{{ax}}{{{b^2}}}}= \int\limits_{- \infty}^\infty{\frac{{{b^2}}}{a}\ln ({e^t}+ 1)dt}[/math]

Вот с последним интегралом и возникли проблемы.
Вольфрам написал, что
[math]\ln ({e^t}+ 1)dt = - L{i_2}( -{e^t})[/math]- некая полилогарифмическая функция. Как я понял, в деле учавствует степенное разложение, но я не понял, как перейти от одного состояния в другое.

Скажите, пожалуйста, правильным ли решением было решать интеграл по частям и как перейти от последнего интеграла к полилогарифмической (если я правильно ее называю) функции?

Автор:  venjar [ 08 апр 2018, 20:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Выкладки не проверял, но интеграл

[math]\int\limits_{- \infty}^\infty{\ln ({e^t}+ 1)dt}[/math]

расходится, поскольку на положительной части числовой прямой функция под интегралом больше t.

Автор:  Belomor4ik [ 08 апр 2018, 21:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Спасибо! Проверил график - действительно этот интеграл расходится.
Но график изначальной подинтегральной функции точно сходится. Видимо, я где-то ошибся при интегрировании по частям, либо это вообще не очень правильный подход.
[math]\int\limits_{- \infty}^\infty{{e^{- \frac{{{{(x - \frac{a}{2})}^2}}}{{2*{b^2}}}}}\ln (}{e^{\frac{{ax}}{{{b^2}}}}}+ 1)dx[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/