Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти площадь под графиком функции, заданной в полярных коор
СообщениеДобавлено: 04 апр 2018, 22:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 сен 2017, 17:38
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\boldsymbol{r}[/math] =[math]\frac{ a }{ \sin^{3}{ \frac{ \varphi }{ 3 } } }[/math]
В функциях, заданных в полярных, не особо разбираюсь. Продифференцировал, ну и на этом остановился, т.к. я не знаю что делать. А ещё при y=0 не могу понять, где будет x
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& x=r*\cos{\frac{ \varphi }{ 3 } } \\
& y=r*\sin{\frac{ \varphi }{ 3 } }
\end{aligned}\right.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь под графиком функции, заданной в полярных коор
СообщениеДобавлено: 05 апр 2018, 10:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10748
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 941
Спасибо получено:
3191 раз в 2783 сообщениях
Очков репутации: 624

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Построение графика и вычисление площади фигуры в Maple:

Изображение

[math]\int \!{\frac {{a}^{2}}{ \sin^6 \left(\frac t3 \right) }
}\,{\rm d}t=-\frac 12\,{a}^{2} \left[{
\frac {6}{5\,\sin^5 \left(\frac t3 \right) }}+{
\frac {8}{5\,\sin^3 \left(\frac t3 \right) }}+{
\frac {16}{5\,\sin \left(\frac t3 \right) }} \right] \cos \left(\frac t3
\right)+C[/math]


Вольфрам показывает, что график построен правильно

https://www.wolframalpha.com/input/?i=polar+r%3D1%2Fsin%5E3(t%2F3)

У меня [math]t=\varphi[/math]. Так удобно было рассчитывать в Maple.


Последний раз редактировалось Avgust 05 апр 2018, 11:38, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь под графиком функции, заданной в полярных коор
СообщениеДобавлено: 05 апр 2018, 11:28 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 14:40
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
149 раз в 146 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Область определения [math]sin\frac{ \varphi }{ 3 } >0[/math] ; [math]3 \pi > \varphi > 0[/math]. Получается вот такая петелочка:

Изображение

Видно, что она симметричная относительно оси 0у. Точки пересечения с осью 0у находим из условия [math]x=rcos \varphi =0[/math] ; [math]\varphi =\frac{ \pi }{ 2 } ;\varphi =\frac{ 3 \pi }{ 2 }[/math]
Интегрируем по половинке и умножаем на 2.
[math]S=\int\limits_{\frac{ \pi }{ 2 } }^{\frac{ 3 \pi }{ 2 } }d \varphi \int\limits_{0}^{\frac{ a }{ sin^{3}\frac{ a \varphi }{ 3 } } }rdr=\frac{ 3a^{2} }{ 2 }\int\limits_{\frac{ \pi }{ 2 } }^{\frac{ 3 \pi }{ 2 } }\frac{ dt }{ sin^{6}t }dt[/math], где [math]t=\frac{ \varphi }{ 3 }[/math] .
Это интеграл табличный, его можно найти у Двайта. Ответ для одной половинки для a=1 получается S=12.4707658144959

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю slava_psk "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь под графиком функции, заданной в полярных коор
СообщениеДобавлено: 05 апр 2018, 11:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10748
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 941
Спасибо получено:
3191 раз в 2783 сообщениях
Очков репутации: 624

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk
Все верно! Наши результаты совпали.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь под графиком функции, заданной в полярных коор
СообщениеДобавлено: 05 апр 2018, 13:30 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3633
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
538 раз в 513 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk писал(а):
Это интеграл табличный, его можно найти у Двайта

Подстановка [math]u=\operatorname{ctg}t[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь под графиком функции, заданной в полярных коор
СообщениеДобавлено: 05 апр 2018, 14:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10748
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 941
Спасибо получено:
3191 раз в 2783 сообщениях
Очков репутации: 624

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нашел более простое значение неопределенного интеграла:

[math]\int \!{\frac {{a}^{2}}{ \sin^6 \left(\frac t3 \right) }
}\,{\rm d}t=\frac{a^2}{sin^5 {\frac t3}}\left ( \frac 12 \cos{t}-\cos {\frac t3}-\frac {1}{10}\cos {\frac{5t}{3}} \right )+C[/math]


Верхний предел
https://www.wolframalpha.com/input/?i=a%5E2+(cos(t)%2F2++-cos(t%2F3)+-+cos((5+t)%2F3)%2F10)+csc%5E5(t%2F3)+where+a%3D1+and+t%3D3*pi%2F2

Нижний предел
https://www.wolframalpha.com/input/?i=a%5E2+(cos(t)%2F2++-cos(t%2F3)+-+cos((5+t)%2F3)%2F10)+csc%5E5(t%2F3)+where+a%3D1+and+t%3Dpi%2F2

Все правильно при [math]a=1[/math]

Графики двух моих интегральных выражений тождественны (принял [math]a=3[/math]):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=3%5E2+(cos(t)%2F2++-cos(t%2F3)+-+cos((5+t)%2F3)%2F10)+csc%5E5(t%2F3)%26%26-3%5E2*cos(t%2F3)%2F5*(3%2Fsin%5E5(t%2F3)%2B4%2Fsin%5E3(t%2F3)%2B8%2Fsin(t%2F3))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь под графиком функции, заданной в полярных коор
СообщениеДобавлено: 05 апр 2018, 23:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 сен 2017, 17:38
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А график построить по точка? Или есть другой способ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь под графиком функции, заданной в полярных коор
СообщениеДобавлено: 05 апр 2018, 23:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 сен 2017, 17:38
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk писал(а):
Область определения [math]sin\frac{ \varphi }{ 3 } >0[/math] ; [math]3 \pi > \varphi > 0[/math]. Получается вот такая петелочка:

Изображение

Видно, что она симметричная относительно оси 0у. Точки пересечения с осью 0у находим из условия [math]x=rcos \varphi =0[/math] ; [math]\varphi =\frac{ \pi }{ 2 } ;\varphi =\frac{ 3 \pi }{ 2 }[/math]
Интегрируем по половинке и умножаем на 2.
[math]S=\int\limits_{\frac{ \pi }{ 2 } }^{\frac{ 3 \pi }{ 2 } }d \varphi \int\limits_{0}^{\frac{ a }{ sin^{3}\frac{ a \varphi }{ 3 } } }rdr=\frac{ 3a^{2} }{ 2 }\int\limits_{\frac{ \pi }{ 2 } }^{\frac{ 3 \pi }{ 2 } }\frac{ dt }{ sin^{6}t }dt[/math], где [math]t=\frac{ \varphi }{ 3 }[/math] .
Это интеграл табличный, его можно найти у Двайта. Ответ для одной половинки для a=1 получается S=12.4707658144959


А график построить по точка? Или есть другой способ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь под графиком функции, заданной в полярных коор
СообщениеДобавлено: 06 апр 2018, 02:33 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10748
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 941
Спасибо получено:
3191 раз в 2783 сообщениях
Очков репутации: 624

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно и по точкам. Вот прога в Maple: расчет точек для левой части "груши"

a := 1; for t0 from 90 by 10 to 270 do t := (1/180)*t0*Pi: r := a/sin((1/3)*t)^3: print(t0, evalf[4](r)) end do:


Результаты для [math]a=1[/math]

90, 8.
100, 6.027
110, 4.695
120, 3.765
130, 3.095
140, 2.598
150, 2.225
160, 1.938
170, 1.715
180, 1.540
190, 1.401
200, 1.292
210, 1.205
220, 1.137
230, 1.086
240, 1.047
250, 1.021
260, 1.005
270, 1.


Первая колонка - угол [math]t[/math] в градусах, вторая колонка - радиус-вектор [math]r[/math]. Правая часть "груши" - симметрична относительно оси 0Y

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь под графиком функции, заданной в полярных коор
СообщениеДобавлено: 06 апр 2018, 09:09 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 14:40
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
149 раз в 146 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Jugalator,
Я строю графики в Excell.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Построение функции, заданной парам. и в пол. коор

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

pronyn

1

280

16 мар 2013, 18:25

Площадь кардиоиды, заданной в полярных координатах

в форуме Интегральное исчисление

Elena21

1

197

28 мар 2015, 00:25

Записать разложение в ряд Фурье функции, заданной графиком

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Fedorpanow

5

191

18 дек 2016, 20:29

Экстраполяция пилообразной кривой заданной графиком

в форуме Численные методы

Dremlin

28

801

21 фев 2016, 17:33

Найти площадь фигуры, в полярных координатах, r=фи, r=2

в форуме Интегральное исчисление

boode

4

136

21 мар 2017, 17:56

Найти площадь фигуры, в полярных координатах

в форуме Интегральное исчисление

boode

4

159

29 апр 2017, 20:34

Найти площадь фигуры ограниченных линиями в полярных к-тах

в форуме Интегральное исчисление

bigbang23

2

468

05 май 2013, 22:43

Площадь под графиком

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

NedoL

2

331

29 июн 2014, 11:22

Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах

в форуме Интегральное исчисление

bigbang23

13

696

06 май 2013, 16:04

Длина дуги кривой заданной в полярных координатах

в форуме Интегральное исчисление

Math_girl

11

130

04 ноя 2017, 17:49


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved