Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решить определенный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=58809
Страница 1 из 1

Автор:  Stephen [ 27 мар 2018, 02:18 ]
Заголовок сообщения:  Решить определенный интеграл

Здравствуйте.
Не получается решить вот такой интеграл, [math]\int\limits_{2arctg(1 \slash 3)}^{2arctg(1 \slash 2)} \frac{ 1 }{ sinx(1-sinx) }[/math]

Сначала пытался взять просто интеграл и после некоторых махинаций получилось вот это:
[math]\int \frac{ 1 }{ sinx(1-sinx) } = \int \frac{ 1 }{ sinx } \cdot \frac{ 1+sinx }{ 1-sinx(1+sinx) }
= \int \frac{ 1 }{ sinx(1-sin^2(x))} + \int \frac{ 1 }{ 1-sin^2(x) }[/math]


Вот. Если во втором слагаемом можно преобразовать синус в косинус и сделать тригонометрическую подстановку, то как поступать с первым? Или же решать такое нужно совсем по другому?

Автор:  michel [ 27 мар 2018, 09:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить определенный интеграл

Первый интеграл можно так взять
[math]\int \frac{dx}{ sinx \cdot cos^2x } =\int \frac{sinxdx}{ sin^2 x \cdot cos^2 x }=-\int \frac{dcosx}{ (1-cos^2 x) \cdot cos^2 x }=-\int \frac{dt}{ (1-t^2) \cdot t^2 }=-\int \frac{dt}{ (1-t^2) }-\int \frac{dt}{ t^2 }=...[/math]

Автор:  venjar [ 27 мар 2018, 09:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить определенный интеграл

Мне кажется, что здесь поможет универсальная тригонометрическая подстановка. Да и вид пределов интегрирования намекает на это.
Там неплохо потом поможет несложное разложение на сумму элементарных дробей.

Автор:  Tantan [ 27 мар 2018, 10:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить определенный интеграл

[math]\int \frac{ dx }{ \sin{x}(1-\sin{x} ) } =\int \frac{ dx}{ sinx } +\int \frac{ dx }{ 1- sinx } = \int \frac{ d\operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } } }{\operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } } } - 2\int \frac{ d(1-\operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 }) }}{ (1- \operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } }) ^{2} }= \ln{\left| \operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } } \right| } +\frac{ 2 }{ 1-\operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } } } + C[/math]

Автор:  Avgust [ 27 мар 2018, 10:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить определенный интеграл

Я тоже так получил. После подстановки результат [math]\ln(1.5)+1\approx 1.405[/math]

Проверил графически: идеально совпало

Изображение

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/