| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Решить определенный интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=58809 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Stephen [ 27 мар 2018, 02:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Решить определенный интеграл |
Здравствуйте. Не получается решить вот такой интеграл, [math]\int\limits_{2arctg(1 \slash 3)}^{2arctg(1 \slash 2)} \frac{ 1 }{ sinx(1-sinx) }[/math] Сначала пытался взять просто интеграл и после некоторых махинаций получилось вот это: [math]\int \frac{ 1 }{ sinx(1-sinx) } = \int \frac{ 1 }{ sinx } \cdot \frac{ 1+sinx }{ 1-sinx(1+sinx) } = \int \frac{ 1 }{ sinx(1-sin^2(x))} + \int \frac{ 1 }{ 1-sin^2(x) }[/math] Вот. Если во втором слагаемом можно преобразовать синус в косинус и сделать тригонометрическую подстановку, то как поступать с первым? Или же решать такое нужно совсем по другому? |
|
| Автор: | michel [ 27 мар 2018, 09:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить определенный интеграл |
Первый интеграл можно так взять [math]\int \frac{dx}{ sinx \cdot cos^2x } =\int \frac{sinxdx}{ sin^2 x \cdot cos^2 x }=-\int \frac{dcosx}{ (1-cos^2 x) \cdot cos^2 x }=-\int \frac{dt}{ (1-t^2) \cdot t^2 }=-\int \frac{dt}{ (1-t^2) }-\int \frac{dt}{ t^2 }=...[/math] |
|
| Автор: | venjar [ 27 мар 2018, 09:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить определенный интеграл |
Мне кажется, что здесь поможет универсальная тригонометрическая подстановка. Да и вид пределов интегрирования намекает на это. Там неплохо потом поможет несложное разложение на сумму элементарных дробей. |
|
| Автор: | Tantan [ 27 мар 2018, 10:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить определенный интеграл |
[math]\int \frac{ dx }{ \sin{x}(1-\sin{x} ) } =\int \frac{ dx}{ sinx } +\int \frac{ dx }{ 1- sinx } = \int \frac{ d\operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } } }{\operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } } } - 2\int \frac{ d(1-\operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 }) }}{ (1- \operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } }) ^{2} }= \ln{\left| \operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } } \right| } +\frac{ 2 }{ 1-\operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } } } + C[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 27 мар 2018, 10:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить определенный интеграл |
Я тоже так получил. После подстановки результат [math]\ln(1.5)+1\approx 1.405[/math] Проверил графически: идеально совпало
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|