Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интеграл, зависящий от параметра
СообщениеДобавлено: 11 янв 2018, 15:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2017, 11:31
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Необходимо вычислить интеграл:
[math]F(a)=[/math][math]\int\limits_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 } }[/math][math]\ln({a^{2}-\sin^{2} { \varphi } })[/math][math]d \varphi[/math]

Используем теорему о дифференцировании интеграла:
[math]F'(a)=[/math][math]\int\limits_{0}^{\frac{ \pi }{ 2} }[/math][math]\frac{ 2a d \varphi }{ a^{2}-\sin^{2}{ \varphi } }[/math][math]=\frac{ \pi }{ \sqrt{a^{2}-1 } }[/math]
Откуда
[math]F(a)= \pi \ln{(a+\sqrt{a^{2}-1 }) } + C[/math]

Проблема заключается с поиском С, не совсем понимаю как ее найти. Нужно составить как я понимаю начальное функции [math]F(a)[/math], рассмотрев как ведет себя функция при [math]a \to \infty[/math] или я ошибаюсь? Буду рад любой помощи и подсказке

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, зависящий от параметра
СообщениеДобавлено: 11 янв 2018, 15:54 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как вариант, да!
Другого даже не вижу
Получается, что [math]\frac{\pi}{2}\ln(a^2-1)<F(a)<\frac{\pi}{2}\ln(a^2)[/math], устремив [math]a\to\infty[/math] получим [math]C=0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, зависящий от параметра
СообщениеДобавлено: 11 янв 2018, 15:58 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Только я немного ошибся, это если бы было написано
[math]F(a) = \pi\ln(\frac{a+\sqrt{a^2-1}}{2}) +C[/math], а в Вашем случае [math]C=-\pi\ln2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали:
khammisha
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, зависящий от параметра
СообщениеДобавлено: 11 янв 2018, 16:11 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
25 дек 2017, 15:49
Сообщений: 81
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\,\colon[/math]
Slon писал(а):
Как вариант, да!
Другого даже не вижу
Получается, что [math]\frac{\pi}{2}\ln(a^2-1)<F(a)<\frac{\pi}{2}\ln(a^2)[/math], устремив [math]a\to\infty[/math] получим [math]C=0[/math]

Здравствуйте. Не могли бы вы подсказать как получть такие неравенства?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, зависящий от параметра
СообщениеДобавлено: 11 янв 2018, 16:21 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так я ведь просто заменил подинтегральную функцию на ее минимум и максимум ведь [math]\sin^2\phi \in[0, 1][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, зависящий от параметра
СообщениеДобавлено: 12 янв 2018, 18:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2017, 11:31
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slon писал(а):
Только я немного ошибся, это если бы было написано
[math]F(a) = \pi\ln(\frac{a+\sqrt{a^2-1}}{2}) +C[/math], а в Вашем случае [math]C=-\pi\ln2[/math]

Да. спасибо большое за помощь)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интеграл , зависящий от параметра

в форуме Интегральное исчисление

Finn_parnichka

15

467

29 май 2018, 01:05

Интеграл, зависящий от параметра

в форуме Интегральное исчисление

TopAxeee

2

149

29 ноя 2020, 17:19

Интеграл зависящий от параметра

в форуме Интегральное исчисление

Phoeniks

5

383

31 мар 2016, 11:10

Несобственный интеграл зависящий от параметра

в форуме Интегральное исчисление

nngurf

6

445

22 май 2016, 10:51

Несобственный интеграл, зависящий от параметра

в форуме Интегральное исчисление

Stasya7

0

239

08 июн 2015, 21:45

Вычислить интеграл, зависящий от параметра

в форуме Интегральное исчисление

MathSamurai

5

493

05 апр 2020, 01:34

Несобственный интеграл, зависящий от параметра

в форуме Интегральное исчисление

Pixelbug

24

529

15 май 2022, 15:51

Вычислить несобственных интеграл, зависящий от параметра

в форуме Интегральное исчисление

Derevyashka

10

380

09 дек 2018, 18:00

Несобственный интеграл от параметра

в форуме Интегральное исчисление

Derevyashka

6

268

19 дек 2018, 19:31

При каких значениях параметра несобственный интеграл сх-ся

в форуме Интегральное исчисление

Gfhs

1

321

24 май 2016, 23:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 34


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved