Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
СообщениеДобавлено: 24 дек 2017, 13:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 ноя 2017, 19:49
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Исследовать на абс. и усл. сходимость:
[math]\int\limits_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 } }[/math] [math]\operatorname{tg}^{ \alpha }{x}[/math][math]\cos{\operatorname({ctg}{x}) }[/math]
Понятно, что нужно расписывать на два. Нашел, что при стремлении к 0 есть абсолютная сходимость при [math]\alpha[/math] >-1, а при стремлении к [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math] : [math]\alpha[/math] <1.
Не могу доказать, что для других [math]\alpha[/math] абсолютной сходимости нет и условную не знаю как.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 08:48 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 17:58
Сообщений: 1183
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
241 раз в 234 сообщениях
Очков репутации: 92

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В нуле я бы просто заменил [math]tgx \sim x[/math], тогда интеграл принимает вид [math]\int\limits_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }} \frac{cos( ctgx) dx }{ x^{- \alpha } }[/math], при [math]\alpha < -1[/math] абсолютно сходится, а при [math]-1 \leqslant \alpha < 0[/math] условно сходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 11:17 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 ноя 2017, 19:49
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Radley писал(а):
а при [math]-1 \leqslant \alpha < 0[/math] условно сходится.

по какому-то признаку или откуда это следует?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 11:49 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 17:58
Сообщений: 1183
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
241 раз в 234 сообщениях
Очков репутации: 92

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Извините, я неверно решил. Пробую заново. В нуле [math]tgx \sim x, ctgx \sim \frac{ 1 }{ x }, \int\limits_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 } } x^{ \alpha } cos (\frac{ 1 }{ x }dx ) \sim (t=\frac{ 1 }{ x } ) \sim \int\limits_{\frac{ 2 }{ \pi } }^{ \infty } \frac{ cost dt }{ t^{ \alpha + 2} }[/math] . Используем признаки Дирихле и сравнения, тогда абсолютная сходимость при [math]\alpha > -1[/math], а условная сходимость при [math]-2< \alpha \leqslant -1[/math]. Теперь рассмотрим [math]x= \frac{ \pi }{ 2 }[/math]. Введём [math]z=x-\frac{ \pi a }{2 } , tgx \sim sin z \sim z[/math], тогда интеграл [math]\int\limits_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 } } \frac{ dz }{ z^{- \alpha } }[/math] сходится при [math]-1 < \alpha < 0[/math]. При объединении интервалов получается, что [math]-1 < \alpha < 0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Radley "Спасибо" сказали:
DorianT
 Заголовок сообщения: Re: Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 18:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 ноя 2017, 19:49
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Radley писал(а):
Введём [math]z=x-\frac{ \pi a }{2 } , tgx \sim sin z \sim z[/math]


можете пожалуйста пояснить эквивалентность тангенса синусу? не понимаю откуда она следует.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 18:57 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 17:58
Сообщений: 1183
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
241 раз в 234 сообщениях
Очков репутации: 92

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]tg x \sim \frac{ 1 }{ sinz } \sim \frac{ 1 }{ z }[/math]. Извините, я снова тут ошибся, очень муторный пример. Тогда вообще получается, что при [math]x=\frac{ \pi }{ 2 }[/math] область сходимости [math]0< \alpha <1[/math], а области не пересекаются. Надеюсь, кто-то ещё этот пример решит и установит истину)))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Radley "Спасибо" сказали:
DorianT
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Абсолютная и условная сходимость

в форуме Ряды

SonnyMoore

2

169

02 июн 2014, 08:14

Абсолютная и условная сходимость

в форуме Ряды

Qller

8

201

17 май 2017, 13:27

Абсолютная и условная сходимость ряда

в форуме Ряды

amennin

4

267

23 дек 2014, 22:20

Сходимость ряда абсолютная и условная

в форуме Ряды

katka_kis

3

231

27 май 2014, 20:21

Абсолютная/условная сходимость ряда

в форуме Ряды

murza

9

204

21 ноя 2017, 17:07

Абсолютная и условная сходимость ряда

в форуме Ряды

andrey1234

1

148

21 май 2015, 21:04

С параметром; условная и абсолютная сходимость

в форуме Ряды

delmel

2

228

11 дек 2013, 21:21

Абсолютная и условная сходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Enosha

9

319

29 май 2014, 15:46

Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда

в форуме Ряды

Wulran

10

128

11 дек 2017, 22:03

Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

purgin4ik

1

278

22 мар 2014, 14:46


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved