Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Площадь поверхности которая ограничена кривой
СообщениеДобавлено: 21 дек 2017, 21:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 дек 2017, 14:44
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение


Необходимо вычислить площадь фигуры которая ограничена этой кривой

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь поверхности которая ограничена кривой
СообщениеДобавлено: 22 дек 2017, 13:36 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10237
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 924
Спасибо получено:
3111 раз в 2713 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кривая эта - две петли:

Изображение

Перейдем к полярным координатам: [math]x=r\cdot \cos(t)\,;\,\,\, y=r\cdot \sin(t)[/math].
Подставим и выразим [math]r\,[/math]. После упрощения получим

[math]r=\frac{6^{\frac{7}{12}}\cdot \sqrt[6]{\sin{t}\cdot \cos{t} }}{(\cos ^2{t}+2)^{\frac 23}}[/math]

контроль графический: https://www.wolframalpha.com/input/?i=polar+(6%5E(7%2F12)+(cos(t)+sin(t))%5E(1%2F6))%2F(2+%2B+cos%5E2(t))%5E(2%2F3)

Площадь двух петель: [math]S=2\cdot \frac 12 \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}r^2\, dt = \frac 94\,{\frac {\sqrt {2} \left[\Gamma \left( \frac 23 \right) \right] ^{3}
}{\pi}}\approx 2.514879135[/math]


PS
[math]\Gamma \left ( \frac 23\right )=\frac 32 \cdot \frac 23! \approx 1.35417939...[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь поверхности которая ограничена кривой
СообщениеДобавлено: 22 дек 2017, 14:32 
В сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 14:40
Сообщений: 512
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
103 раз в 102 сообщениях
Очков репутации: 18

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust, это чего, студенту дали задачу со спец. функцией?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь поверхности которая ограничена кривой
СообщениеДобавлено: 22 дек 2017, 20:14 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10237
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 924
Спасибо получено:
3111 раз в 2713 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk, я думаю, что задание все же было не аналитически решать, а численно. Путем построения векторов и нахождения суммы элементарных площадей. Такие вещи у нас в институте были на первом курсе.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь поверхности которая ограничена кривой
СообщениеДобавлено: 23 дек 2017, 09:22 
В сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 14:40
Сообщений: 512
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
103 раз в 102 сообщениях
Очков репутации: 18

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust,
Да, так тоже так думаю, интеграл считать численно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь поверхности которая ограничена кривой
СообщениеДобавлено: 23 дек 2017, 15:55 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10237
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 924
Спасибо получено:
3111 раз в 2713 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, я в Мапл численно решил:
n := 10000: S := 0: t0 := evalf(Pi/(2*n)): t1 := (1/2)*t0: t2 := (1/2)*Pi-t1: for t from t1 by t0 to t2 do r := 6^(7/12)*(sin(t)*cos(t))^(1/6)/(cos(t)^2+2)^(2/3): S := S+(1/2)*r^2*t0 end do: print(evalf(2*S));


и при 10000 разбиений угла 90 град. получил площадь 2.514858107

Ошибка только в пятом знаке после запятой.

и при 100000 разбиений угла 90 град. получил площадь 2.514872806 (время счета 2 мин)

А точное значение, как мы помним: 2.514879135

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Площадь поверхности которая ограничена кривой

в форуме Интегральное исчисление

Cheesecake

1

32

19 дек 2017, 01:02

Найти площадь фигуры которая ограничена кардиоидой

в форуме Интегральное исчисление

kittycat_13

2

195

26 май 2015, 00:05

Найти площадь поверхности которая создается при оборачивании

в форуме Интегральное исчисление

bigbang23

4

226

10 май 2013, 23:43

вычислить площадь поверхности образованную вращением кривой

в форуме Интегральное исчисление

ShpatSH

9

382

13 май 2012, 22:44

Площадь поверхности образованной вращением дуги кривой

в форуме Интегральное исчисление

gidrontium

0

179

15 апр 2014, 17:56

Площадь области, ограничена функциями с параметром

в форуме Интегральное исчисление

alex231

0

29

16 дек 2017, 23:01

Длина дуги кривой на поверхности

в форуме Интегральное исчисление

Marusya

4

656

09 апр 2013, 12:21

Уравнение поверхности,полученной вращением кривой вокруг оси

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

mayer

7

371

03 дек 2015, 22:53

Площадь поверхности

в форуме Интегральное исчисление

maksustoff

1

85

13 май 2016, 01:29

Площадь поверхности

в форуме Интегральное исчисление

UlyaU

4

118

19 май 2016, 07:58


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved